Determine o domínio de f \circ g em que f(x)=\ln (x-5) e g(x)=x^{3}-7 x-1.

Passo 1

O enunciado dá as duas funções
f(x)=\ln(x-5)
e
g(x)=x^{3}-7x-1,
e pede para determinar o domínio de f\circ g.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • f exige que seu argumento seja estritamente maior que 5, porque o logaritmo natural só está definido para números positivos. Ou seja, a entrada t em f(t)=\ln(t-5) precisa satisfazer t-5>0.
  • g é um polinômio de grau 3, portanto está definido para todo x\in\mathbb{R}.
  • A composição f\circ g está definida exatamente para os x tais que x está no domínio de g (aqui todos os reais) e, ao mesmo tempo, g(x) está no domínio de f.

Passo 2

Traduzir a condição de domínio da composição em uma desigualdade concreta.
Como o domínio de f é (5,\infty), para que f(g(x)) exista precisamos ter
g(x)\in(5,\infty)\quad\Longleftrightarrow\quad g(x)>5.
Substituindo g(x) obtemos a desigualdade
x^{3}-7x-1>5.

Passo 3

Transformar a desigualdade em uma forma padrão (polinomial igualada a zero) para estudar sinais.
Subtraindo 5 de ambos os lados:
x^{3}-7x-1-5>0
ou seja
x^{3}-7x-6>0.
Definimos o polinômio
p(x)=x^{3}-7x-6.
Devemos então resolver p(x)>0.

Passo 4

Encontrar as raízes de p(x) para poder fazer um estudo de sinais. Usamos a Regra das Raízes Racionais (testar divisores de 6): candidatos \pm1,\pm2,\pm3,\pm6.
Calculemos alguns valores:
p(1)=1-7-6=-12,
p(2)=8-14-6=-12,
p(3)=27-21-6=0.
Portanto x=3 é uma raiz de p.
Fazendo divisão sintética (ou divisão polinomial) por (x-3) obtemos o quociente
x^{2}+3x+2.

Passo 5

Fatorar o quociente quadrático:
x^{2}+3x+2=(x+1)(x+2).
Assim
p(x)=(x-3)(x+1)(x+2).

Passo 6

Estudar o sinal de p(x)=(x-3)(x+1)(x+2). As raízes (pontos críticos) são -2,-1,3. Fazemos um quadro de sinais por intervalos:
  • Para x<-2 (por exemplo x=-3):
    (x-3)<0,\\ (x+1)<0,\\ (x+2)<0 → produto: negativo.
  • Para -2<x<-1 (por exemplo x=-1{,}5):
    (x-3)<0,\\ (x+1)<0,\\ (x+2)>0 → produto: positivo.
  • Para -1<x<3 (por exemplo x=0):
    (x-3)<0,\\ (x+1)>0,\\ (x+2)>0 → produto: negativo.
  • Para x>3 (por exemplo x=4):
    (x-3)>0,\\ (x+1)>0,\\ (x+2)>0 → produto: positivo.
Queremos p(x)>0, portanto os intervalos onde isso ocorre são
(-2,-1)\quad\text{e}\quad(3,\infty).
As raízes -2,-1,3 são excluídas porque em cada uma delas p(x)=0, o que corresponde a g(x)=5 e levaria a \ln(0), que não está definido.

Passo 7

Concluir o domínio de f\circ g. Como g é definido para todo real e a condição necessária e suficiente para f(g(x)) é p(x)>0, o domínio da composição é
(-2,-1)\cup(3,\infty).

Resposta

(-2,-1)\cup(3,\infty)

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