Determine o domínio de
em que
e
.
Passo 1
O enunciado dá as duas funções
e
e pede para determinar o domínio de
.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
-
exige que seu argumento seja estritamente maior que , porque o logaritmo natural só está definido para números positivos. Ou seja, a entrada em precisa satisfazer . -
é um polinômio de grau 3, portanto está definido para todo . - A composição
está definida exatamente para os tais que está no domínio de (aqui todos os reais) e, ao mesmo tempo, está no domínio de .
Passo 2
Traduzir a condição de domínio da composição em uma desigualdade concreta.
Como o domínio de
é
, para que
exista precisamos ter
Substituindo
obtemos a desigualdade
Passo 3
Transformar a desigualdade em uma forma padrão (polinomial igualada a zero) para estudar sinais.
Subtraindo
de ambos os lados:
ou seja
Definimos o polinômio
Devemos então resolver
.
Passo 4
Encontrar as raízes de
para poder fazer um estudo de sinais. Usamos a Regra das Raízes Racionais (testar divisores de
): candidatos
.
Calculemos alguns valores:
Portanto
é uma raiz de
.
Fazendo divisão sintética (ou divisão polinomial) por
obtemos o quociente
Passo 5
Fatorar o quociente quadrático:
Assim
Passo 6
Estudar o sinal de
. As raízes (pontos críticos) são
. Fazemos um quadro de sinais por intervalos:
- Para
(por exemplo ):
→ produto: negativo. - Para
(por exemplo ):
→ produto: positivo. - Para
(por exemplo ):
→ produto: negativo. - Para
(por exemplo ):
→ produto: positivo.
Queremos
, portanto os intervalos onde isso ocorre são
As raízes
são excluídas porque em cada uma delas
, o que corresponde a
e levaria a
, que não está definido.
Passo 7
Concluir o domínio de
. Como
é definido para todo real e a condição necessária e suficiente para
é
, o domínio da composição é