Considere as funções
a) Encontre
b) Calcule
c) Determine o domínio
b) Calcule
c) Determine o domínio
Passo 1
O enunciado dá duas funções:
E pede três coisas:
- (a) encontrar
, ou seja a função composta ; - (b) calcular
; - (c) determinar o domínio de
.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A função
envolve logaritmo na base de uma raiz cúbica; isso exige que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo. - A função
é uma função racional com denominador ; portanto não está no domínio de .
Passo 2
Primeiro, vou relembrar e explicar duas coisas importantes que vou usar:
- Composição:
. Ou seja, substitui-se em pelo valor . - Propriedade de log e raiz cúbica: a raiz cúbica pode ser escrita como potência
. Para logaritmos vale
desde que
. Aqui
significa “o argumento do logaritmo”.
Vou reescrever
de forma útil para a composição:
Passo 3
Agora faço a composição
. Substituo
em
por
:
Usando a propriedade da raiz/logaritmo que escrevi:
Substituindo
obtemos a forma explícita:
ou, escrevendo o numerador em ordem usual,
Passo 4
Agora calculo
. Primeiro calculo
:
Como
, então
A raiz cúbica de
é
e
. Logo
Passo 5
Agora determino o domínio de
. Regra geral: o domínio da composição é o conjunto de
tais que
-
está no domínio de (ou seja ), e -
está no domínio de . Como exige argumento positivo (logaritmo), precisamos de
Portanto resolverei a desigualdade
Para resolver, faço análise dos sinais. Chamo o numerador de
e o denominador de
.
- Zeros de
: . - Zero de
: .
Esses pontos dividem a reta em intervalos. Vou verificar o sinal do quociente em cada intervalo (tabela de sinais):
Intervalos críticos:
.
Escolho um número teste em cada intervalo e avalio o sinal de
e
:
- Em
(no intervalo ):
, . Quociente: negativo/negativo = positivo. Logo a função é nesse intervalo. - Em
(no intervalo , já que ):
, . Quociente: negativo/positivo = negativo. Logo nesse intervalo. - Em
(no intervalo ):
, . Quociente: positivo/positivo = positivo. Logo nesse intervalo. - Em
(no intervalo ):
, . Quociente: negativo/positivo = negativo. Logo nesse intervalo.
Conclusão da análise de sinais: a desigualdade
é satisfeita para
Lembrando que
está fora do domínio de
e os pontos
tornam o numerador zero (ou seja
), e como
é indefinido, esses pontos devem ser excluídos. Assim o domínio da composição é exatamente
Passo 6
Resumo e verificação rápida:
- A expressão encontrada para
é consistente com a necessidade de . - Verifiquei explicitamente
e pertence ao intervalo , então está no domínio. - Os pontos problemáticos
(denominador zero) e (g zerando) foram corretamente excluídos.