Considere as funções
f(x)=\log _{2} \sqrt[3]{x} \quad \text { e } \quad g(x)=\frac{-x^{2}+2}{x+2}
a) Encontre f \circ g
b) Calcule f \circ g(-1)
c) Determine o domínio

Passo 1

O enunciado dá duas funções:
f(x)=\log_{2}\sqrt[3]{x}
g(x)=\frac{-x^{2}+2}{x+2}
E pede três coisas:
  • (a) encontrar f\circ g, ou seja a função composta f(g(x));
  • (b) calcular (f\circ g)(-1);
  • (c) determinar o domínio de f\circ g.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A função f envolve logaritmo na base 2 de uma raiz cúbica; isso exige que o argumento do logaritmo seja estritamente positivo.
  • A função g é uma função racional com denominador x+2; portanto x=-2 não está no domínio de g.

Passo 2

Primeiro, vou relembrar e explicar duas coisas importantes que vou usar:
  • Composição: (f\circ g)(x)=f(g(x)). Ou seja, substitui-se x em f pelo valor g(x).
  • Propriedade de log e raiz cúbica: a raiz cúbica pode ser escrita como potência x^{1/3}. Para logaritmos vale
\log_{2}\left(x^{1/3}\right)=\frac{1}{3}\log_{2}(x),
desde que x>0. Aqui x significa “o argumento do logaritmo”.
Vou reescrever f de forma útil para a composição:
f(x)=\log_{2}\sqrt[3]{x}=\log_{2}\left(x^{1/3}\right)=\frac{1}{3}\log_{2}(x),\qquad x>0.

Passo 3

Agora faço a composição f(g(x)). Substituo x em f por g(x):
(f\circ g)(x)=f\big(g(x)\big)=\log_{2}\sqrt[3]{\,g(x)\,}.
Usando a propriedade da raiz/logaritmo que escrevi:
(f\circ g)(x)=\frac{1}{3}\log_{2}\!\left(g(x)\right).
Substituindo g(x)=\dfrac{-x^{2}+2}{x+2} obtemos a forma explícita:
(f\circ g)(x)=\frac{1}{3}\log_{2}\!\left(\frac{-x^{2}+2}{x+2}\right)
ou, escrevendo o numerador em ordem usual,
(f\circ g)(x)=\frac{1}{3}\log_{2}\!\left(\frac{2-x^{2}}{x+2}\right).

Passo 4

Agora calculo (f\circ g)(-1). Primeiro calculo g(-1):
g(-1)=\frac{-(-1)^{2}+2}{-1+2}=\frac{-1+2}{1}=\frac{1}{1}=1.
Como g(-1)=1, então
(f\circ g)(-1)=f(1)=\log_{2}\sqrt[3]{1}.
A raiz cúbica de 1 é 1 e \log_{2}(1)=0. Logo
(f\circ g)(-1)=0.

Passo 5

Agora determino o domínio de f\circ g. Regra geral: o domínio da composição é o conjunto de x tais que
  1. x está no domínio de g (ou seja x\neq-2), e
  2. g(x) está no domínio de f. Como f exige argumento positivo (logaritmo), precisamos de
g(x)>0.
Portanto resolverei a desigualdade
\frac{-x^{2}+2}{x+2}>0.
Para resolver, faço análise dos sinais. Chamo o numerador de N(x)= -x^{2}+2 = 2-x^{2} e o denominador de D(x)=x+2.
  • Zeros de N: 2-x^{2}=0\Rightarrow x^{2}=2\Rightarrow x=\pm\sqrt{2}.
  • Zero de D: x+2=0\Rightarrow x=-2.
Esses pontos dividem a reta em intervalos. Vou verificar o sinal do quociente em cada intervalo (tabela de sinais):
Intervalos críticos: (-\infty,-2),\;(-2,-\sqrt{2}),\;(-\sqrt{2},\sqrt{2}),\;(\sqrt{2},\infty).
Escolho um número teste em cada intervalo e avalio o sinal de N e D:
  • Em x=-3 (no intervalo (-\infty,-2)):
    N(-3)=2-9=-7<0, D(-3)=-1<0. Quociente: negativo/negativo = positivo. Logo a função é >0 nesse intervalo.
  • Em x=-1{,}8 (no intervalo (-2,-\sqrt{2}), já que -\sqrt{2}\approx-1{,}414):
    N(-1{,}8)=2-(1{,}8)^{2}=2-3{,}24=-1{,}24<0, D(-1{,}8)=-1{,}8+2=0{,}2>0. Quociente: negativo/positivo = negativo. Logo <0 nesse intervalo.
  • Em x=0 (no intervalo (- \sqrt{2},\sqrt{2})):
    N(0)=2>0, D(0)=2>0. Quociente: positivo/positivo = positivo. Logo >0 nesse intervalo.
  • Em x=2 (no intervalo (\sqrt{2},\infty)):
    N(2)=2-4=-2<0, D(2)=4>0. Quociente: negativo/positivo = negativo. Logo <0 nesse intervalo.
Conclusão da análise de sinais: a desigualdade \dfrac{-x^{2}+2}{x+2}>0 é satisfeita para
x\in(-\infty,-2)\quad\text{ou}\quad x\in(-\sqrt{2},\sqrt{2}).
Lembrando que x=-2 está fora do domínio de g e os pontos x=\pm\sqrt{2} tornam o numerador zero (ou seja g(x)=0), e como \log_{2}(0) é indefinido, esses pontos devem ser excluídos. Assim o domínio da composição é exatamente
(-\infty,-2)\cup(-\sqrt{2},\sqrt{2}).

Passo 6

Resumo e verificação rápida:
  • A expressão encontrada para f\circ g é consistente com a necessidade de g(x)>0.
  • Verifiquei explicitamente (f\circ g)(-1)=0 e -1 pertence ao intervalo (- \sqrt{2},\sqrt{2}), então está no domínio.
  • Os pontos problemáticos -2 (denominador zero) e \pm\sqrt{2} (g zerando) foram corretamente excluídos.

Resposta

\displaystyle (f\circ g)(x)=\frac{1}{3}\log_{2}\!\left(\frac{2-x^{2}}{x+2}\right)
\displaystyle (f\circ g)(-1)=0
\displaystyle \operatorname{Dom}(f\circ g)=(-\infty,-2)\cup(-\sqrt{2},\sqrt{2})

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