Resolva as inequações abaixo. Dê a resposta na notação de conjunto, de intervalo e numa representação na reta numérica:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação composta 1+x<|3x−6|≤6x+9, que envolve valor absoluto e duas desigualdades ao mesmo tempo. Para isso vamos usar o conceito de valor absoluto de forma piecewise e depois intersectar com as condições obtidas em cada caso.
Passo 2
Para x<2 temos 3x−6<0, logo |3x−6|=6−3x. A inequação composta fica 1+x<6−3x ≤6x+9. Resolvendo cada parte: (i) 1+x<6−3x ⇒4x<5 ⇒x<5/4; (ii) 6−3x≤6x+9 ⇒−9x≤3 ⇒x≥−1/3. Interseção com x<2 dá −1/3≤x<5/4.
Passo 3
Para x≥2 temos 3x−6≥0, logo |3x−6|=3x−6. A inequação composta fica 1+x<3x−6 ≤6x+9. Resolvendo: (i) 1+x<3x−6 ⇒−2x<−7 ⇒x>7/2; (ii) 3x−6≤6x+9 ⇒−15≤3x ⇒x≥−5. Interseção com x≥2 dá x>7/2.
Passo 4
Agora unimos as duas soluções parciais: de x no intervalo [−1/3,5/4) e de x no intervalo (7/2,+∞). A solução final é S=[−1/3,5/4)∪(7/2,∞).
Passo 5
Em notação de conjunto temos {x∈ℝ:−1/3≤x<5/4 ou x>7/2}. Em notação de intervalo é [−1/3,5/4)∪(7/2,∞). Na reta numérica marca-se ponto fechado em −1/3 até ponto aberto em 5/4, e ponto aberto em 7/2 com segmento até +∞.
Resposta
Notação de conjunto:
. Intervalo:
. Representação na reta numérica: ponto fechado em
até ponto aberto em
, e ponto aberto em
estendendo-se até +∞.