Resolva as inequações abaixo. Dê a resposta na notação de conjunto, de intervalo e numa representação na reta numérica: 1+x<|3 x-6| <= 6 x+9 S=[-1 / 3,5 / 4) cup(7 / 2,+infty).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação composta 1+x<|3x−6|≤6x+9, que envolve valor absoluto e duas desigualdades ao mesmo tempo. Para isso vamos usar o conceito de valor absoluto de forma piecewise e depois intersectar com as condições obtidas em cada caso.

Passo 2

Para x<2 temos 3x−6<0, logo |3x−6|=6−3x. A inequação composta fica 1+x<6−3x ≤6x+9. Resolvendo cada parte: (i) 1+x<6−3x ⇒4x<5 ⇒x<5/4; (ii) 6−3x≤6x+9 ⇒−9x≤3 ⇒x≥−1/3. Interseção com x<2 dá −1/3≤x<5/4.

Passo 3

Para x≥2 temos 3x−6≥0, logo |3x−6|=3x−6. A inequação composta fica 1+x<3x−6 ≤6x+9. Resolvendo: (i) 1+x<3x−6 ⇒−2x<−7 ⇒x>7/2; (ii) 3x−6≤6x+9 ⇒−15≤3x ⇒x≥−5. Interseção com x≥2 dá x>7/2.

Passo 4

Agora unimos as duas soluções parciais: de x no intervalo [−1/3,5/4) e de x no intervalo (7/2,+∞). A solução final é S=[−1/3,5/4)∪(7/2,∞).

Passo 5

Em notação de conjunto temos {x∈ℝ:−1/3≤x<5/4 ou x>7/2}. Em notação de intervalo é [−1/3,5/4)∪(7/2,∞). Na reta numérica marca-se ponto fechado em −1/3 até ponto aberto em 5/4, e ponto aberto em 7/2 com segmento até +∞.

Resposta

Notação de conjunto: xinR: -tfrac13<= xtfrac72. Intervalo: [ -tfrac13,tfrac54 )cup( tfrac72,infty ). Representação na reta numérica: ponto fechado em -tfrac13 até ponto aberto em tfrac54, e ponto aberto em tfrac72 estendendo-se até +∞.

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