Resolva as inequações abaixo. Dê a resposta na notação de conjunto, de intervalo e numa representação na reta numérica: |2 x-5| >= 3-x, S=(-infty, 2] cup[8 / 3,+infty).

Passo 1

O enunciado pede resolver a inequação lvert2x-5rvert>=3-x. Esse tipo de problema envolve valor absoluto, então vamos usar a definição de módulo e estudar casos em que o argumento do valor absoluto é não‐negativo ou negativo.

Passo 2

O módulo se define por
lvert2x-5rvert=2x-5,&se 2x-5>=05-2x,&se 2x-5<0
Primeiro caso: suponha 2x-5>=0, isto é, x>=5/2. Então a desigualdade fica
2x-5>=3-x
Somando x dos dois lados e somando 5:
3x>=8Longrightarrow x>=83
Como já estávamos em x>=5/2=2,5approx2,5, a solução desse caso é
x>=83

Passo 3

Segundo caso: suponha 2x-5<0, isto é, x<5/2. Então
lvert2x-5rvert=5-2x>=3-x
Rearranjando:
5-2x>=3-xLongrightarrow5-3>=2x-xLongrightarrow2>= xLongrightarrow x<=2
Juntando a condição x<5/2 com x<=2 temos simplesmente
x<=2

Passo 4

Agora unimos as soluções dos dois casos. Do segundo caso vem o intervalo [8/3, +infty) e do primeiro caso vem (-infty,2];cup;[8/3,+infty) . Como não há sobreposição extra nem restrição adicional, a solução geral é

Passo 5

Finalmente, expressamos a resposta de três formas:
  • Notação de conjunto: xin Rmid x<=2 ou x>=8/3
  • Notação de intervalo: -infty
  • Representação na reta numérica: sombrear todo o trecho de 2 até 8/3 inclusive e todo o trecho de +infty inclusive até (2,8/3), deixando o intervalo sem pintura.

Resposta

Notação de conjunto: xin Rmid x<=2 ou x>=8/3
Notação de intervalo: [8/3,+infty)
Representação na reta numérica: sombrear 2 e 8/3 com círculos fechados em (2,8/3) e , deixando em branco.

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