Resolva as inequações abaixo. Dê a resposta na notação de conjunto, de intervalo e numa representação na reta numérica: 24-x+3>2 x-1 S=(-infty, 3) cup(3,4).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional 24-x+3>2x-1. O conteúdo principal é inequações de razão, e vamos precisar identificar o domínio, obter um único quociente e estudar o sinal desse quociente.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio da expressão: o denominador 4-x não pode ser zero, logo xneq4. Portanto o domínio é Rsetminus4. Também vamos ficar de olho em pontos críticos como zeros do numerador e do denominador.

Passo 3

Subtraímos 2x-1 dos dois lados e juntamos tudo num só quociente:
24-x+3-(2x-1)=24-x-2x+4=2-(2x-4)(4-x)4-x>0
No numerador fazemos a conta:
$$
2-(2x-4)(4-x)=2-(8x-2x2-16+4x)=2+2x2-12x+16=2(x2-6x+9)=2(x-3)2.
$$

Passo 4

Logo a inequação fica
2(x-3)^24-x>0
Como 2(x-3)^2>=0 para todo x, e só zera em x=3, o sinal da fração depende do denominador 4-x. Para xneq3 temos numerador positivo, então a fração é positiva quando 4-x>0, isto é, x<4. Ainda excluímos x=3 (fica 0>0 falso) e x=4 (não está no domínio).

Passo 5

Concluímos que a solução é todos os x<4, exceto x=3, ou seja o conjunto .

Resposta

Notação de conjunto: xin Rmid x<4, xneq3.\nNotação de intervalo: (-infty,3)cup(3,4).\nRepresentação na reta: marcar círculos abertos em 3 e em 4 e sombrear todo o trecho até -infty até 3 e o trecho de 3 a 4.

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