Resolva as inequações abaixo. Dê a resposta na notação de conjunto, de intervalo e numa representação na reta numérica: |x+3|<|2 x+1| S=(-infty,-4 / 3) cup(2,+infty).

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação de valor absoluto |x+3|<|2x+1|. Esse tipo de problema envolve a matéria de inequações com valor absoluto. Vamos usar a definição de módulo e dividir o domínio em intervalos determinados pelos zeros de x+3 e 2x+1.

Passo 2

Encontramos os pontos em que os argumentos dos módulos são zero: x+3=0 x=-3 e 2x+1=0 x=-tfrac12. Esses valores particionam a reta em três intervalos: (-3,-tfrac12), (-tfrac12,+infty) e .

Passo 3

No intervalo x< -3, tanto x+3 quanto 2x+1 são negativos. Logo |x+3|=-(x+3) e |2x+1|=-(2x+1). A inequação fica:
-(x+3)<-(2x+1)
que simplifica para
-x-3< -2x-1
x<2
Como estamos em x< -3, todo ponto desse intervalo satisfaz x<2. Portanto, entra na solução.

Passo 4

No intervalo -3, x+3>0 e 2x+1<0. Assim |x+3|=x+3 e |2x+1|=-(2x+1). A inequação é:
x+3< -2x-1
3x< -4
x< -tfrac43
Intersecção com -3,x< -tfrac12) -3,-tfrac43).

Passo 5

No intervalo x> -tfrac12, ambos argumentos são positivos, então |x+3|=x+3 e |2x+1|=2x+1. A inequação vira:
x+3<2x+1
x>2
E como já estamos em x> -tfrac12, a parte válida é (2,+infty).

Passo 6

Juntando todos os pedaços, a solução final é o conjunto dos x tais que
xin(-infty,-4/3)cup(2,+infty)

Resposta

Notação de conjunto: S=xinRmid|x+3|<|2x+1|=(-infty,-tfrac43)cup(2,+infty)
Notação de intervalo: (-infty,-tfrac43)cup(2,+infty).
Representação na reta numérica: círculos abertos em -tfrac43 e 2, com a região à esquerda de -tfrac43 e à direita de 2 sombreadas.

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