Resolva as inequações abaixo. Dê a resposta na notação de conjunto, de intervalo e numa representação na reta numérica:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação racional (\frac{x{2}-4x-5}{(4-x{2})^{20}}\le0. O conteúdo envolve análise de sinais de uma função racional, identificando raízes do numerador e zeros do denominador para montar o diagrama de sinais.
Passo 2
Para determinar o domínio, observe que o denominador
anula-se em
e
. Esses pontos são singularidades e devem ser excluídos da solução.
Como a potência 20 é par, o denominador é sempre positivo para . Logo, o sinal da fração coincide com o sinal do numerador
.
Como a potência 20 é par, o denominador é sempre positivo para
Passo 3
Resolvendo
: as raízes da equação
são
e
. Por ser uma parábola com concavidade para cima, a desigualdade vale para
.
Passo 4
Unindo com o domínio, excluímos
. Note que
fica fora de
, então não interfere. Assim, a solução é
menos o ponto
, ou seja
.
Resposta
Notação de conjunto:
.
Notação de intervalo: .
Representação na reta numérica: marque -1 e 5 com pontos fechados e 2 com ponto aberto; trace um segmento contínuo de -1 até 2 (sem incluir 2) e outro de 2 até 5 (incluindo 5).
Notação de intervalo:
Representação na reta numérica: marque -1 e 5 com pontos fechados e 2 com ponto aberto; trace um segmento contínuo de -1 até 2 (sem incluir 2) e outro de 2 até 5 (incluindo 5).