Resolva as inequações abaixo. Dê a resposta na notação de conjunto, de intervalo e numa representação na reta numérica: x^2-4 x-5(4-x^2)^20 <= 0 S=[-1,2) cup(2,5].

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional (\frac{x{2}-4x-5}{(4-x{2})^{20}}\le0. O conteúdo envolve análise de sinais de uma função racional, identificando raízes do numerador e zeros do denominador para montar o diagrama de sinais.

Passo 2

Para determinar o domínio, observe que o denominador (4-x^2)^20 anula-se em x=2 e x=-2. Esses pontos são singularidades e devem ser excluídos da solução.
Como a potência 20 é par, o denominador é sempre positivo para xneqpm2. Logo, o sinal da fração coincide com o sinal do numerador x^2-4x-5.

Passo 3

Resolvendo x^2-4x-5<=0: as raízes da equação x^2-4x-5=0 são x=-1 e x=5. Por ser uma parábola com concavidade para cima, a desigualdade vale para xin[-1,5].

Passo 4

Unindo com o domínio, excluímos x=2. Note que -2 fica fora de [-1,5], então não interfere. Assim, a solução é [-1,5] menos o ponto 2, ou seja
[-1,2)cup(2,5].

Resposta

Notação de conjunto: xinRmid -1<= x<=5, xneq2.
Notação de intervalo: [-1,2)cup(2,5].
Representação na reta numérica: marque -1 e 5 com pontos fechados e 2 com ponto aberto; trace um segmento contínuo de -1 até 2 (sem incluir 2) e outro de 2 até 5 (incluindo 5).

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