Resolva as inequações abaixo em termos dos intervalos e ilustre o conjunto solução na reta real:
(x-1)(x-2)(x+3) \geq 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
(x - 1)\,(x - 2)\,(x + 3) \geq 0
ou seja, encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam não negativo o produto de três fatores lineares. O conteúdo aplicado é análise de sinal de um polinômio via pontos críticos (raízes) e construção de um diagrama na reta real.

Passo 2

Primeiro, identificamos as raízes da função f(x) = (x - 1)(x - 2)(x + 3). Elas são os valores que anulam cada fator:
x - 1 = 0 \implies x = 1,\quad x - 2 = 0 \implies x = 2,\quad x + 3 = 0 \implies x = -3.
Esses pontos particionam a reta real em quatro intervalos abertos:
(-\infty,-3),\quad(-3,1),\quad(1,2),\quad(2,\infty).

Passo 3

Em cada intervalo, determinamos o sinal de f(x) substituindo um valor teste em cada fator:
  • Em (-\infty,-3), escolhemos x=-4:
    (x-1)<0,\;(x-2)<0,\;(x+3)<0 ⇒ produto =\text{negativo}.
  • Em (-3,1), escolhemos x=0:
    (x-1)<0,\;(x-2)<0,\;(x+3)>0 ⇒ produto =\text{positivo}.
  • Em (1,2), escolhemos x=1{,}5:
    (x-1)>0,\;(x-2)<0,\;(x+3)>0 ⇒ produto =\text{negativo}.
  • Em (2,\infty), escolhemos x=3:
    (x-1)>0,\;(x-2)>0,\;(x+3)>0 ⇒ produto =\text{positivo}.

Passo 4

Como queremos (x - 1)(x - 2)(x + 3)\geq 0, aceitamos os intervalos onde o produto é positivo, e também incluímos as raízes (pois aí o produto é zero). Logo, o conjunto solução é
[-3,\,1]\;\cup\;[2,\,\infty).

Passo 5

Ilustração na reta real (bolinhas fechadas em -3,1,2):
----●\(=========\)● ●\(=========\)>
 -\(312+\infty\)
onde o traço contínuo entre -3 e 1 e depois de 2 até +\infty indica os valores de x que satisfazem a inequação.

Resposta

x\in[-3,\,1]\;\cup\;[2,\,\infty).

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