Resolva as inequações abaixo em termos dos intervalos e ilustre o conjunto solução na reta real:
x^{3}+3 x<4 x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
x^{3} + 3x < 4x^{3}
e depois ilustrar na reta real o conjunto de soluções. O conteúdo principal envolve inequações polinomiais, fatoração e análise de sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos passar tudo para o mesmo lado a fim de comparar com zero. Subtraindo 4x^{3} de ambos os lados, obtemos
x^{3} + 3x - 4x^{3} < 0
e, ao agrupar termos semelhantes,
-3x^{3} + 3x < 0.

Passo 3

Agora, fatoramos o polinômio do lado esquerdo. Note que há fator comum 3x:
-3x^{3} + 3x = 3x\bigl(-x^{2} + 1\bigr).
Em seguida, usamos a diferença de quadrados em -x^{2}+1 = 1 - x^{2}:
3x\bigl(1 - x^{2}\bigr) = 3x\,(1 - x)\,(1 + x).
Logo, a inequação fica
3x\,(1 - x)\,(1 + x) < 0.

Passo 4

Como o fator 3 é positivo, ele não altera o sinal. Precisamos estudar o produto
x\,(1 - x)\,(1 + x)
e seus zeros em x=-1, x=0 e x=1. Fazendo a análise de sinais em cada intervalo:
Para x < -1: \;x<0, 1 - x>0, 1 + x<0 \;\Longrightarrow produto positivo.
Para -1 < x < 0: \;x<0, 1 - x>0, 1 + x>0 \;\Longrightarrow produto negativo.
Para 0 < x < 1: \;x>0, 1 - x>0, 1 + x>0 \;\Longrightarrow produto positivo.
Para x > 1: \;x>0, 1 - x<0, 1 + x>0 \;\Longrightarrow produto negativo.
A inequação exige produto negativo, logo os intervalos de solução são -1 < x < 0 e x > 1.

Resposta

O conjunto solução é
(-1,0)\,\cup\,(1,\infty).
Na reta real, marcamos círculos abertos em -1, 0 e 1 e sombreiam-se as regiões entre -1 e 0 e, separadamente, à direita de 1.

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