Resolva as inequações abaixo em termos dos intervalos e ilustre o conjunto solução na reta real:
\frac{2 x-1}{x+1}<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação fracionária
\frac{2x-1}{x+1}<0
e expressar a solução em termos de intervalos, além de ilustrar o conjunto solução na reta real. O conteúdo é inequações racionais; vamos precisar achar onde o numerador e o denominador se anulam e estudar o sinal da fração em cada intervalo resultante.

Passo 2

Determinamos os pontos críticos:
– Numerador zero quando
2x-1=0\;\Longrightarrow\;x=\frac{1}{2}.
– Denominador zero quando
x+1=0\;\Longrightarrow\;x=-1.
Logo, o domínio é \mathbb{R}\setminus\{-1\} e os pontos que particionam a reta são x=-1 e x=\tfrac12.

Passo 3

Estudamos o sinal de \tfrac{2x-1}{x+1} nos três intervalos:
– Em (-\infty,-1): escolhemos x=-2. Então 2x-1<0 e x+1<0, logo a fração é positiva.
– Em (-1,\tfrac12): escolhemos x=0. Então 2x-1<0 e x+1>0, logo a fração é negativa.
– Em (\tfrac12,\infty): escolhemos x=1. Então 2x-1>0 e x+1>0, logo a fração é positiva.

Passo 4

Como queremos
\frac{2x-1}{x+1}<0,
a única região em que a fração é negativa é
-1<x<\frac12.
Não incluímos x=-1 porque aí a expressão é indefinida, nem x=\tfrac12 pois ali a fração vale zero.

Passo 5

Ilustração na reta real (círculos abertos em -1 e em \tfrac12, segmento preenchido entre eles):
<—○ ================○—>
- 11/2

Resposta

\bigl(-1,\tfrac{1}{2}\bigr)

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