Resolva as inequações abaixo:
e^{x^{2}-5} \geq e^{4 x}

Passo 1

O enunciado dá a inequação envolvendo a função exponencial
e^{x^{2}-5} \geq e^{4x},
e pede determinar todos os valores de x\in\mathbb{R} que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes do enunciado:
  • A incógnita é x.
  • Ambas as extremidades da desigualdade são exponenciais com base e.
  • Quer-se o conjunto solução da inequação.

Passo 2

Entendimento do instrumento principal (mini-aula): a função exponencial t\mapsto e^{t} é estritamente crescente. Isso significa que, para quaisquer números reais a e b,
a\ge b \quad\Longleftrightarrow\quad e^{a}\ge e^{b}.
Justificação simples: a derivada de e^{t} é e^{t}>0 para todo t, logo a função é crescente; portanto comparar e^{\text{algo}} é equivalente a comparar os próprios expoentes. Essa propriedade permite “cancelar” a função exponencial da desigualdade mantendo a mesma direção do sinal.
Aplicando essa ideia à nossa inequação: como e^{\cdot} é crescente, podemos comparar os expoentes:
e^{x^{2}-5} \ge e^{4x} \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-5 \ge 4x.

Passo 3

Transformar a desigualdade entre expoentes em uma desigualdade polinomial. Subtraindo 4x de ambos os lados e somando 5 ao lado direito, obtemos
x^{2}-5 \ge 4x \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}-4x-5 \ge 0.
Aqui trabalhamos com uma inequação quadrática: avaliar onde o polinômio p(x)=x^{2}-4x-5 é não negativo.

Passo 4

Resolver a equação associada para achar as raízes (pontos críticos). Calcula-se o discriminante \Delta da quadrática x^{2}-4x-5:
\Delta = (-4)^{2}-4\cdot1\cdot(-5)=16+20=36.
As raízes são
x=\frac{4\pm\sqrt{36}}{2}=\frac{4\pm6}{2}.
Logo as raízes são
x_{1}=\frac{4-6}{2}=-1,\qquad x_{2}=\frac{4+6}{2}=5.
Podemos também fatorar o polinômio:
x^{2}-4x-5=(x+1)(x-5).

Passo 5

Analisar o sinal da quadrática. Como o coeficiente de x^{2} é 1>0, o gráfico de p(x)=x^{2}-4x-5 é uma parábola com concavidade voltada para cima. Isso implica que p(x)\ge0 fora do intervalo entre as raízes e p(x)\le0 entre as raízes. Portanto a solução da inequação x^{2}-4x-5\ge0 é
x\in(-\infty,-1]\cup[5,\infty).
Se quiser, verifica-se com pontos-teste: para x=-2 tem-se p(-2)=4+8-5=7>0; para x=0 tem-se p(0)=-5<0; para x=6 tem-se p(6)=36-24-5=7>0. Confere o padrão esperado.

Passo 6

Voltar ao problema original: pela monotonicidade de e^{t} (Passo 2) a solução da inequação exponencial é exatamente a mesma da inequação quadrática que encontramos. Assim o conjunto solução final é o obtido no Passo 5.
Força aí — já era! Você chegou ao conjunto solução limpinho.

Resposta

(-\infty,-1]\cup[5,\infty)

Exercícios relacionados