Resolva as inequações abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a inequação envolvendo a função exponencial
e pede determinar todos os valores de
que satisfazem essa desigualdade.
Informações relevantes do enunciado:
- A incógnita é
. - Ambas as extremidades da desigualdade são exponenciais com base
. - Quer-se o conjunto solução da inequação.
Passo 2
Entendimento do instrumento principal (mini-aula): a função exponencial
é estritamente crescente. Isso significa que, para quaisquer números reais
e
,
Justificação simples: a derivada de
é
para todo
, logo a função é crescente; portanto comparar
é equivalente a comparar os próprios expoentes. Essa propriedade permite “cancelar” a função exponencial da desigualdade mantendo a mesma direção do sinal.
Aplicando essa ideia à nossa inequação: como
é crescente, podemos comparar os expoentes:
Passo 3
Transformar a desigualdade entre expoentes em uma desigualdade polinomial. Subtraindo
de ambos os lados e somando
ao lado direito, obtemos
Aqui trabalhamos com uma inequação quadrática: avaliar onde o polinômio
é não negativo.
Passo 4
Resolver a equação associada para achar as raízes (pontos críticos). Calcula-se o discriminante
da quadrática
:
As raízes são
Logo as raízes são
Podemos também fatorar o polinômio:
Passo 5
Analisar o sinal da quadrática. Como o coeficiente de
é
, o gráfico de
é uma parábola com concavidade voltada para cima. Isso implica que
fora do intervalo entre as raízes e
entre as raízes. Portanto a solução da inequação
é
Se quiser, verifica-se com pontos-teste: para
tem-se
; para
tem-se
; para
tem-se
. Confere o padrão esperado.
Passo 6
Voltar ao problema original: pela monotonicidade de
(Passo 2) a solução da inequação exponencial é exatamente a mesma da inequação quadrática que encontramos. Assim o conjunto solução final é o obtido no Passo 5.
Força aí — já era! Você chegou ao conjunto solução limpinho.