Resolva as inequações abaixo:
3 x(2 x-1)(-3 x+7)<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
3x(2x-1)(-3x+7)<0.
Este é um problema de inequação polinomial, que resolvemos encontrando as raízes dos fatores, traçando-as na reta real e verificando o sinal do produto em cada intervalo.

Passo 2

Como o fator 3 é positivo, podemos dividi-lo dos dois lados sem mudar o sinal da inequação. Ficamos com
x(2x-1)(-3x+7)<0.
Os zeros de cada fator são:
x=0,\quad 2x-1=0\implies x=\tfrac12,\quad -3x+7=0\implies x=\tfrac73.
Esses valores particionam a reta real em quatro intervalos.

Passo 3

Escolhemos um ponto de teste em cada intervalo e analisamos o sinal de cada fator:
Intervalo (-\infty,0), teste em x=-1:
x<0\;( \text{negativo}),\quad 2x-1<0,\quad -3x+7>0 \;\Longrightarrow\; (\text{neg})\cdot(\text{neg})\cdot(\text{pos})=\text{pos}.
Intervalo (0,\tfrac12), teste em x=\tfrac14:
x>0,\quad 2x-1<0,\quad -3x+7>0 \;\Longrightarrow\; (\text{pos})\cdot(\text{neg})\cdot(\text{pos})=\text{neg}.
Intervalo (\tfrac12,\tfrac73), teste em x=1:
x>0,\quad 2x-1>0,\quad -3x+7>0 \;\Longrightarrow\; (\text{pos})\cdot(\text{pos})\cdot(\text{pos})=\text{pos}.
Intervalo (\tfrac73,\infty), teste em x=3:
x>0,\quad 2x-1>0,\quad -3x+7<0 \;\Longrightarrow\; (\text{pos})\cdot(\text{pos})\cdot(\text{neg})=\text{neg}.

Passo 4

A inequação pede onde o produto é negativo. Vimos que isso ocorre em
(0,\tfrac12)\quad\text{e}\quad(\tfrac73,\infty).

Resposta

(0,\tfrac12)\,\cup\,(\tfrac73,\infty).

Exercícios relacionados