Resolva as inequações abaixo:
(-x+1)(-2 x+10)(x+1) \geq 0

Passo 1

Estamos diante da inequação
(-x+1)(-2x+10)(x+1)\ge 0,
que é uma inequação polinomial obtida pelo produto de três fatores lineares. Para resolver, vamos encontrar as raízes de cada fator e analisar o sinal do produto em cada intervalo determinado por essas raízes.

Passo 2

Encontramos as raízes fazendo cada fator igual a zero:
-x+1=0\\ \Rightarrow\\ x=1,
-2x+10=0\\ \Rightarrow\\\ -2x=-10\\ \Rightarrow\\ x=5,
x+1=0\\ \Rightarrow\\ x=-1.
Portanto, as raízes são x=-1, x=1 e x=5. Essas raízes particionam a reta em quatro intervalos: (-\infty,-1), (-1,1), (1,5) e (5,\infty).

Passo 3

Em cada intervalo, escolhemos um ponto teste e avaliamos o sinal de cada fator para determinar o sinal do produto:
  • Em x=-2\in(-\infty,-1):
-x+1=3>0,\quad -2x+10=14>0,\quad x+1=-1<0
Produto <0.
  • Em x=0\in(-1,1):
-x+1=1>0,\quad -2x+10=10>0,\quad x+1=1>0
Produto >0.
  • Em x=2\in(1,5):
-x+1=-1<0,\quad -2x+10=6>0,\quad x+1=3>0
Produto <0.
  • Em x=6\in(5,\infty):
-x+1=-5<0,\quad -2x+10=-2<0,\quad x+1=7>0
Produto >0.
Como queremos \ge0, escolhemos os intervalos onde o produto é positivo ou zero. O produto zera exatamente em x=-1,1,5.

Passo 4

Reunindo, a solução é
x\in[-1,1]\cup[5,\infty).

Resposta

[-1,1]\cup[5,\infty)

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