Resolva as inequações e apresente seus resultados usando a notação de intervalos.
x(x-1)(x+4)>0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a inequação x(x - 1)(x + 4) > 0 . Isso está dentro da matéria de inequações polinomiais. Para resolver, vamos precisar encontrar onde essa expressão é positiva, ou seja, maior que zero.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores de x que fazem a expressão igual a zero, porque nesses pontos a inequação pode mudar de sinal. Então, vamos resolver:
x(x - 1)(x + 4) = 0
Isso acontece quando qualquer um dos fatores é zero:
x = 0 ou x - 1 = 0 ou x + 4 = 0
Portanto, os valores críticos são x = -4 , x = 0 e x = 1 .

Passo 3

Esses valores dividem a reta numérica em quatro intervalos diferentes. Vamos listar esses intervalos para analisar onde a expressão é positiva:
  1. (-infty, -4)
  2. (-4, 0)
  3. (0, 1)
  4. (1, +infty)

Passo 4

Agora, vamos verificar o sinal da expressão em cada intervalo escolhendo um número dentro de cada um para substituir na inequação.
  1. Intervalo (-infty, -4) : Vamos escolher x = -5 .
(-5)(-5 - 1)(-5 + 4) = (-5)(-6)(-1) = -30 (negativo)
  1. Intervalo (-4, 0) : Vamos escolher x = -2 .
(-2)(-2 - 1)(-2 + 4) = (-2)(-3)(2) = 12 (positivo)
  1. Intervalo (0, 1) : Vamos escolher x = 0.5 .
(0.5)(0.5 - 1)(0.5 + 4) = (0.5)(-0.5)(4.5) = -1.125 (negativo)
  1. Intervalo (1, +infty) : Vamos escolher x = 2 .
(2)(2 - 1)(2 + 4) = (2)(1)(6) = 12 (positivo)

Passo 5

A inequação quer saber onde a expressão é maior que zero, ou seja, positiva. Observamos que a expressão é positiva nos intervalos (-4, 0) e (1, +infty) .

Resposta

A solução da inequação é x in (-4,,0) cup (1,,+infty) .

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