Resolva as inequações e apresente seus resultados usando a notação de intervalos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa desigualdade:
. A matéria que estamos trabalhando aqui é inequações racionais, onde lidamos com frações que têm variáveis no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar manipular essas frações, encontrar valores que possam tornar o denominador zero e analisar os intervalos resultantes.
Passo 2
Primeiro, vamos trazer tudo para o mesmo lado da desigualdade para facilitar a resolução. Subtraindo
de ambos os lados, temos:
Isso nos ajuda a ter uma única fração para analisar.
Passo 3
Agora, para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre
e
é
. Então, reescrevemos cada fração com esse denominador:
Passo 4
Vamos expandir os numeradores:
Substituindo de volta na fração:
Passo 5
Simplificando o numerador:
Então, a desigualdade fica:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os valores de
que tornam o numerador ou denominador zero, pois são esses os pontos que dividem os intervalos onde a desigualdade pode mudar de sinal:
Portanto, os pontos críticos são
,
e
.
Passo 7
Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos:
Em cada intervalo, vamos verificar o sinal da fração
.
Passo 8
Escolhendo um valor de teste em cada intervalo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 9
Observando os sinais:
- No intervalo
, a expressão é negativa. - Nos intervalos
, e , a expressão é positiva.
Resposta
A solução da inequação é
.