Resolva as inequações e apresente seus resultados usando a notação de intervalos.
2 x+12 x>x-3x+2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa desigualdade: 2x+12x > x-3x+2. A matéria que estamos trabalhando aqui é inequações racionais, onde lidamos com frações que têm variáveis no numerador e denominador. Para resolver, vamos precisar manipular essas frações, encontrar valores que possam tornar o denominador zero e analisar os intervalos resultantes.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer tudo para o mesmo lado da desigualdade para facilitar a resolução. Subtraindo x-3x+2 de ambos os lados, temos:
2x+12x - x-3x+2 > 0
Isso nos ajuda a ter uma única fração para analisar.

Passo 3

Agora, para subtrair essas frações, precisamos de um denominador comum. O denominador comum entre 2x e x+2 é 2x(x+2). Então, reescrevemos cada fração com esse denominador:
(2x+1)(x+2) - (x-3)(2x)2x(x+2) > 0

Passo 4

Vamos expandir os numeradores:
(2x+1)(x+2) = 2x^2 + 4x + x + 2 = 2x^2 + 5x + 2
(x-3)(2x) = 2x^2 - 6x
Substituindo de volta na fração:
2x^2 + 5x + 2 - (2x^2 - 6x)2x(x+2) > 0

Passo 5

Simplificando o numerador:
2x^2 + 5x + 2 - 2x^2 + 6x = 11x + 2
Então, a desigualdade fica:
11x + 22x(x+2) > 0

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores de x que tornam o numerador ou denominador zero, pois são esses os pontos que dividem os intervalos onde a desigualdade pode mudar de sinal:
11x + 2 = 0 implies x = -211
2x = 0 implies x = 0
x + 2 = 0 implies x = -2
Portanto, os pontos críticos são x = -2, x = -211 e x = 0.

Passo 7

Vamos analisar os intervalos determinados por esses pontos:
  1. x < -2
  2. -2 < x < -211
  3. -211 < x < 0
  4. x > 0
Em cada intervalo, vamos verificar o sinal da fração 11x + 22x(x+2).

Passo 8

Escolhendo um valor de teste em cada intervalo:
  1. Para x = -3:
    11(-3) + 22(-3)(-3+2) = -33 + 22(-3)(-1) = -316 < 0
  2. Para x = -1:
    11(-1) + 22(-1)(-1+2) = -11 + 22(-1)(1) = -9-2 > 0
  3. Para x = -14:
    11(-14) + 22(-14)(-14+2) = -114 + 22(-14)(74) = -34-78 > 0
  4. Para x = 1:
    11(1) + 22(1)(1+2) = 136 > 0

Passo 9

Observando os sinais:
  • No intervalo x < -2, a expressão é negativa.
  • Nos intervalos -2 < x < -211, -211 < x < 0 e x > 0, a expressão é positiva.

Resposta

A solução da inequação é x in (-2,, 0) cup (-211,, +infty).

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