Resolva as inequações dos exercícios 1. a 6.
egin{equation*}(x-1)(1+x)(2-3 x)<0
\end{equation*}

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação (x-1)(1+x)(2-3x) < 0. Isso está ligado ao conteúdo de Inequações Polinomiais. Para resolver, a gente precisa encontrar os valores de x que fazem essa expressão ser menor que zero.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros de cada fator, ou seja, os valores de x que tornam cada parte igual a zero:
x - 1 = 0 Rightarrow x = 1
1 + x = 0 Rightarrow x = -1
2 - 3x = 0 Rightarrow 3x = 2 Rightarrow x = 23
Então, os pontos críticos são x = -1, x = 23 e x = 1.

Passo 3

Agora, vamos dividir a reta numérica em intervalos usando esses pontos críticos:
  1. x < -1
  2. -1 < x < 23
  3. 23 < x < 1
  4. x > 1
A ideia é analisar o sinal da expressão (x-1)(1+x)(2-3x) em cada um desses intervalos.

Passo 4

Vamos escolher um valor de x em cada intervalo e verificar o sinal de cada fator:
  1. Para x < -1, por exemplo, x = -2:
    • x - 1 = -2 - 1 = -3 (negativo)
    • 1 + x = 1 + (-2) = -1 (negativo)
    • 2 - 3x = 2 - 3(-2) = 2 + 6 = 8 (positivo)
    • Produto: (-)(-)(+) = (+) → positivo
  2. Para -1 < x < 23, por exemplo, x = 0:
    • x - 1 = 0 - 1 = -1 (negativo)
    • 1 + x = 1 + 0 = 1 (positivo)
    • 2 - 3x = 2 - 0 = 2 (positivo)
    • Produto: (-)(+)(+) = (-) → negativo
  3. Para 23 < x < 1, por exemplo, x = 0.8:
    • x - 1 = 0.8 - 1 = -0.2 (negativo)
    • 1 + x = 1 + 0.8 = 1.8 (positivo)
    • 2 - 3x = 2 - 3(0.8) = 2 - 2.4 = -0.4 (negativo)
    • Produto: (-)(+)(-) = (+) → positivo
  4. Para x > 1, por exemplo, x = 2:
    • x - 1 = 2 - 1 = 1 (positivo)
    • 1 + x = 1 + 2 = 3 (positivo)
    • 2 - 3x = 2 - 6 = -4 (negativo)
    • Produto: (+)(+)(-) = (-) → negativo

Passo 5

Agora, queremos saber onde a expressão é menor que zero, ou seja, onde o produto é negativo. Observando os resultados:
  • Intervalo -1 < x < 23: negativo
  • Intervalo x > 1: negativo

Resposta

Os valores de x que satisfazem a inequação (x-1)(1+x)(2-3x) < 0 são:
-1 < x < 23 e x > 1

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