Resolva as inequações dos exercícios 1. a 6.
x^2-7 x+10-x^2+9 x-18 <= 0

Passo 1

Beleza, aqui a gente tem uma inequação racional:
x^2-7x+10-x^2+9x-18 ;<=; 0
Isso é conteúdo de inequações racionais (saber fatorar, identificar zeros do numerador e do denominador e montar um quadro de sinais). Vamos precisar:
  1. fatorar numerador e denominador;
  2. achar onde a expressão fica zero ou indefinida;
  3. montar o quadro de sinais e ver onde é menor ou igual a zero.

Passo 2

Primeiro, fatoramos cada parte:
  • Numerador:
x^2-7x+10 ;=;(x-5)(x-2)
  • Denominador:
-,x^2+9x-18 ;=;-1l(x^2-9x+18r) ;=;-1,(x-3)(x-6)
Logo a inequação vira
(x-5)(x-2)-1,(x-3)(x-6) ;<=;0 Long<=ftrightarrow -(x-5)(x-2)(x-3)(x-6) ;<=;0

Passo 3

Multiplicando por (x-5)(x-2)(x-3)(x-6) ;>=;0 (lembra que isso inverte o sinal da desigualdade), temos
Agora identificamos os pontos críticos:
  • Zeros do numerador (onde a fração fica zero): e .
  • Zeros do denominador (onde a expressão é indefinida): e .

Passo 4

A gente coloca esses valores na reta em ordem:
-infty,;2,;3,;5,;6,;+infty
e testa o sinal de em cada intervalo:
  1. : numerador , denominador ⟹ fração .
  2. : numerador , denominador ⟹ fração .
  3. : numerador , denominador ⟹ fração .
  4. : numerador , denominador ⟹ fração .
  5. : numerador , denominador ⟹ fração .
Como queremos , aceitamos onde dá positivo ou zero. Lembrando:
  • Incluímos e (zero do numerador).
  • Excluímos e (denominador zero).

Passo 5

Juntando tudo, os trechos que servem são:
(-infty,2]cup(3,5]cup(6,infty)

Resposta

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