Problema 1 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a Transformada de Laplace da função $ f(t) = t^{4} $. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace. Vamos precisar entender a fórmula da transformada e aplicar algum método de integração. Não se preocupe se não está familiarizado com tudo agora, vou explicar passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
Nesse caso, nossa função é $ f(t) = t^{4} $. Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Agora, precisamos calcular essa integral. Integrar uma função como $ e^{-st} t^{4} $ pode ser complicado, mas podemos simplificar usando uma propriedade das integrais conhecidas como fórmula da transformação de Laplace para $ t^{n} $.
A fórmula geral para a transformada de Laplace de $ t^{n} $ é:
Onde $ n! $ é o fatorial de $ n $ e $ s $ é a variável da transformada.
Passo 4
Vamos aplicar essa fórmula no nosso caso, onde $ n = 4 $:
Aqui, calculamos $ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 $.
Resposta
A Transformada de Laplace de $ f(t) = t^{4} $ é $ \frac{24}{s^{5}} $.