Problema 1 : Use a definição e encontre a transformada de Laplace das seguintes funções, caso exista:
f(t)=t^4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a Transformada de Laplace da função $ f(t) = t^{4} $. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace. Vamos precisar entender a fórmula da transformada e aplicar algum método de integração. Não se preocupe se não está familiarizado com tudo agora, vou explicar passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a definição da Transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
Nesse caso, nossa função é $ f(t) = t^{4} $. Então, substituindo na fórmula:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt

Passo 3

Agora, precisamos calcular essa integral. Integrar uma função como $ e^{-st} t^{4} $ pode ser complicado, mas podemos simplificar usando uma propriedade das integrais conhecidas como fórmula da transformação de Laplace para $ t^{n} $.
A fórmula geral para a transformada de Laplace de $ t^{n} $ é:
e^-st t^4
Onde $ n! $ é o fatorial de $ n $ e $ s $ é a variável da transformada.

Passo 4

Vamos aplicar essa fórmula no nosso caso, onde $ n = 4 $:
n = 4
Aqui, calculamos $ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 $.

Resposta

A Transformada de Laplace de $ f(t) = t^{4} $ é $ \frac{24}{s^{5}} $.
f(t) = t^4

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