Resolva as inequações:
\frac{2 x-1}{1-x}<0
\frac{2 x-1}{1-x}<0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações dadas:
- A expressão é uma razão de dois polinômios lineares: numerador
e denominador . - Para a expressão estar bem definida, o denominador não pode ser zero, ou seja
(portanto ). - A incógnita é
real e queremos o conjunto de todos os que tornam a fração estritamente negativa.
Passo 2
Estratégia (explicação didática): com inequações envolvendo uma fração, a técnica mais segura é analisar os sinais do numerador e do denominador separadamente. A razão será negativa quando os sinais do numerador e do denominador forem opostos (um positivo e o outro negativo). Não se pode multiplicar ambos os lados da inequação por uma expressão que contenha
sem saber seu sinal, porque isso pode inverter a desigualdade; por isso trabalhamos com um quadro de sinais (ou testando intervalos) usando os pontos críticos onde numerador ou denominador são zero.
Passo 3
Encontrar os pontos críticos:
- Numerador
implica . - Denominador
implica , que está proibido (não pertence ao domínio).
Esses dois pontos dividem a reta real em três intervalos:
Passo 4
Determinar o sinal do numerador e do denominador em cada intervalo (explicando passo a passo):
- Fatorizações/observações:
- Numerador é
. Essa expressão é negativa quando , zero em e positiva quando . - Denominador é
. Essa expressão é positiva quando , zero em (que está proibido) e negativa quando .
- Numerador é
Agora, para cada intervalo:
-
Para
: -
(numerador negativo). -
(denominador positivo, pois todo ). - Fração = negativo dividido por positivo = negativo. Logo a inequação
é satisfeita em todo esse intervalo.
-
-
Para
: -
(numerador positivo). -
(denominador positivo, já que ). - Fração = positivo dividido por positivo = positivo. Logo a inequação NÃO é satisfeita nesse intervalo.
-
-
Para
: -
(numerador positivo, pois ). -
(denominador negativo). - Fração = positivo dividido por negativo = negativo. Logo a inequação é satisfeita em todo esse intervalo.
-
Passo 5
Analisar os pontos críticos quanto à inclusão:
- Em
a fração vale (numerador zero, denominador não nulo). Como a desigualdade é estrita , não incluímos . - Em
a expressão não está definida (denominador zero), então não pode ser incluída.
Portanto o conjunto solução é a união dos intervalos onde a fração é negativa, excluindo os pontos críticos.
Passo 6
Resumo curto (outra visão rápida): outra forma é notar que
, então
o que transforma a inequação em
(ao multiplicar por
ambos os lados a desigualdade inverte). Resolver
dá exatamente os mesmos pontos críticos
e
e, pela análise de sinais, a solução também é
.