Resolva as inequações:
\frac{2 x-1}{1-x}<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\frac{2x-1}{1-x}<0.
Informações dadas:
  • A expressão é uma razão de dois polinômios lineares: numerador 2x-1 e denominador 1-x.
  • Para a expressão estar bem definida, o denominador não pode ser zero, ou seja 1-x\neq0 (portanto x\neq1).
  • A incógnita é x real e queremos o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} que tornam a fração estritamente negativa.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): com inequações envolvendo uma fração, a técnica mais segura é analisar os sinais do numerador e do denominador separadamente. A razão será negativa quando os sinais do numerador e do denominador forem opostos (um positivo e o outro negativo). Não se pode multiplicar ambos os lados da inequação por uma expressão que contenha x sem saber seu sinal, porque isso pode inverter a desigualdade; por isso trabalhamos com um quadro de sinais (ou testando intervalos) usando os pontos críticos onde numerador ou denominador são zero.

Passo 3

Encontrar os pontos críticos:
  • Numerador 2x-1=0 implica x=\tfrac{1}{2}.
  • Denominador 1-x=0 implica x=1, que está proibido (não pertence ao domínio).
    Esses dois pontos dividem a reta real em três intervalos:
(-\infty,\tfrac{1}{2}),\quad (\tfrac{1}{2},1),\quad (1,\infty).

Passo 4

Determinar o sinal do numerador e do denominador em cada intervalo (explicando passo a passo):
  • Fatorizações/observações:
    • Numerador é 2x-1. Essa expressão é negativa quando x<\tfrac{1}{2}, zero em x=\tfrac{1}{2} e positiva quando x>\tfrac{1}{2}.
    • Denominador é 1-x. Essa expressão é positiva quando x<1, zero em x=1 (que está proibido) e negativa quando x>1.
Agora, para cada intervalo:
  1. Para x\in(-\infty,\tfrac{1}{2}):
    • 2x-1<0 (numerador negativo).
    • 1-x>0 (denominador positivo, pois todo x<\tfrac{1}{2}<1).
    • Fração = negativo dividido por positivo = negativo. Logo a inequação \frac{2x-1}{1-x}<0 é satisfeita em todo esse intervalo.
  2. Para x\in(\tfrac{1}{2},1):
    • 2x-1>0 (numerador positivo).
    • 1-x>0 (denominador positivo, já que x<1).
    • Fração = positivo dividido por positivo = positivo. Logo a inequação NÃO é satisfeita nesse intervalo.
  3. Para x\in(1,\infty):
    • 2x-1>0 (numerador positivo, pois x>1>\tfrac{1}{2}).
    • 1-x<0 (denominador negativo).
    • Fração = positivo dividido por negativo = negativo. Logo a inequação é satisfeita em todo esse intervalo.

Passo 5

Analisar os pontos críticos quanto à inclusão:
  • Em x=\tfrac{1}{2} a fração vale 0 (numerador zero, denominador não nulo). Como a desigualdade é estrita <0, não incluímos x=\tfrac{1}{2}.
  • Em x=1 a expressão não está definida (denominador zero), então não pode ser incluída.
Portanto o conjunto solução é a união dos intervalos onde a fração é negativa, excluindo os pontos críticos.

Passo 6

Resumo curto (outra visão rápida): outra forma é notar que 1-x=-(x-1), então
\frac{2x-1}{1-x}=-\frac{2x-1}{x-1},
o que transforma a inequação em
\frac{2x-1}{x-1}>0
(ao multiplicar por -1 ambos os lados a desigualdade inverte). Resolver \dfrac{2x-1}{x-1}>0 dá exatamente os mesmos pontos críticos x=\tfrac{1}{2} e x=1 e, pela análise de sinais, a solução também é (-\infty,\tfrac{1}{2})\cup(1,\infty).

Resposta

(-\infty,\tfrac{1}{2})\cup(1,\infty)

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