Resolva as inequações:
e)
e)
Passo 1
O enunciado pede a solução da inequação racional
Informações dadas e observações úteis (tudo retirado do enunciado):
- A expressão é uma fração com numerador
e denominador . - O denominador não pode ser zero, portanto
é um valor proibido (não pertence ao domínio). - A desigualdade é do tipo ``menor ou igual a zero’’, ou seja, buscamos os
para os quais a fração é negativa ou igual a zero.
Passo 2
Ideia do método (como pensar na prova): para resolver uma inequação racional do tipo
fazemos isto:
- Encontrar os pontos críticos — onde o numerador é zero e onde o denominador é zero.
- Esses pontos dividem a reta em intervalos. Em cada intervalo a fração tem sinal constante (positiva ou negativa).
- Testar um ponto em cada intervalo para determinar o sinal da fração naquele intervalo.
- Como a desigualdade é ``
’’, incluímos os pontos onde a fração é exatamente zero (ou seja, onde o numerador é zero), desde que o denominador nesse ponto seja diferente de zero. Nunca incluímos pontos onde o denominador é zero.
Esse método evita multiplicar ambos os lados por expressões que podem mudar o sentido da desigualdade sem controlar o sinal.
Passo 3
Achar os pontos críticos:
- Numerador zero:
dá . - Denominador zero:
dá (valor proibido).
Portanto os pontos que dividem a reta são
e
.
Passo 4
Fazer a análise de sinais por intervalos. Os intervalos gerados por
e
são:
Em cada intervalo escolho um ponto teste e determino o sinal de numerador e denominador.
-
Intervalo
: tomo . - Numerador:
em é que é negativo. - Denominador:
em é que é negativo. - Fração: negativo dividido por negativo é positivo. Logo
neste intervalo.
- Numerador:
-
Intervalo
: tomo . - Numerador:
negativo. - Denominador:
positivo. - Fração: negativo dividido por positivo é negativo. Logo
neste intervalo.
- Numerador:
-
Intervalo
: tomo . - Numerador:
positivo. - Denominador:
positivo. - Fração: positivo dividido por positivo é positivo. Logo
neste intervalo.
- Numerador:
Resumo do sinal:
- Em
: positivo. - Em
: negativo. - Em
: positivo.
Passo 5
Agora aplico a condição da inequação
.
- Quero os
onde a fração é negativa ou zero. - Pela análise, a fração é negativa em
. - A fração é zero quando o numerador é zero, isto é em
. Verifico o denominador em : , logo é permitido e deve ser incluído (porque é ). - O ponto
torna o denominador zero, portanto é proibido e não pode ser incluído.
Portanto a solução é o intervalo onde a fração é negativa mais o ponto onde é zero: