Resolva as inequações:
e) \frac{x-2}{x+3} \leq 0

Passo 1

O enunciado pede a solução da inequação racional
\frac{x-2}{x+3} \leq 0.
Informações dadas e observações úteis (tudo retirado do enunciado):
  • A expressão é uma fração com numerador (x-2) e denominador (x+3).
  • O denominador não pode ser zero, portanto -3 é um valor proibido (não pertence ao domínio).
  • A desigualdade é do tipo ``menor ou igual a zero’’, ou seja, buscamos os x para os quais a fração é negativa ou igual a zero.

Passo 2

Ideia do método (como pensar na prova): para resolver uma inequação racional do tipo \dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}}\le 0 fazemos isto:
  1. Encontrar os pontos críticos — onde o numerador é zero e onde o denominador é zero.
  2. Esses pontos dividem a reta em intervalos. Em cada intervalo a fração tem sinal constante (positiva ou negativa).
  3. Testar um ponto em cada intervalo para determinar o sinal da fração naquele intervalo.
  4. Como a desigualdade é `` \le 0’’, incluímos os pontos onde a fração é exatamente zero (ou seja, onde o numerador é zero), desde que o denominador nesse ponto seja diferente de zero. Nunca incluímos pontos onde o denominador é zero.
Esse método evita multiplicar ambos os lados por expressões que podem mudar o sentido da desigualdade sem controlar o sinal.

Passo 3

Achar os pontos críticos:
  • Numerador zero: x-2=0 x=2.
  • Denominador zero: x+3=0 x=-3 (valor proibido).
Portanto os pontos que dividem a reta são -3 e 2.

Passo 4

Fazer a análise de sinais por intervalos. Os intervalos gerados por -3 e 2 são:
(-\infty,-3),\quad (-3,2),\quad (2,\infty).
Em cada intervalo escolho um ponto teste e determino o sinal de numerador e denominador.
  • Intervalo (-\infty,-3): tomo x=-4.
    • Numerador: x-2 em -4 é (-4)-2=-6 que é negativo.
    • Denominador: x+3 em -4 é (-4)+3=-1 que é negativo.
    • Fração: negativo dividido por negativo é positivo. Logo \dfrac{x-2}{x+3}>0 neste intervalo.
  • Intervalo (-3,2): tomo x=0.
    • Numerador: 0-2=-2 negativo.
    • Denominador: 0+3=3 positivo.
    • Fração: negativo dividido por positivo é negativo. Logo \dfrac{x-2}{x+3}<0 neste intervalo.
  • Intervalo (2,\infty): tomo x=3.
    • Numerador: 3-2=1 positivo.
    • Denominador: 3+3=6 positivo.
    • Fração: positivo dividido por positivo é positivo. Logo \dfrac{x-2}{x+3}>0 neste intervalo.
Resumo do sinal:
  • Em (-\infty,-3): positivo.
  • Em (-3,2): negativo.
  • Em (2,\infty): positivo.

Passo 5

Agora aplico a condição da inequação \dfrac{x-2}{x+3}\le 0.
  • Quero os x onde a fração é negativa ou zero.
  • Pela análise, a fração é negativa em (-3,2).
  • A fração é zero quando o numerador é zero, isto é em x=2. Verifico o denominador em x=2: 2+3=5\neq 0, logo x=2 é permitido e deve ser incluído (porque é \le 0).
  • O ponto x=-3 torna o denominador zero, portanto é proibido e não pode ser incluído.
Portanto a solução é o intervalo onde a fração é negativa mais o ponto onde é zero:
(-3,2].

Resposta

(-3,2]

Exercícios relacionados