Simplifique as expressões, fatorando os termos, caso necessário. Suponha sempre que os denominadores são não nulos.
j) \frac{x-9}{\sqrt{x+3}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{x-9}{\sqrt{x+3}}.
Informações importantes dadas (e condições de domínio que surgem naturalmente):
  • A presença da raiz exige que x+3\ge 0, isto é x\ge -3.
  • Como o denominador não pode ser zero (o enunciado pede para supor denominadores não nulos), devemos excluir x=-3.
    Portanto, a expressão só faz sentido para x>-3.

Passo 2

Estratégia escolhida (explicação didática): quando aparece uma raiz do tipo \sqrt{x+3} no denominador, é útil reescrever o numerador de modo que surja um quadrado perfeito relacionado a essa raiz. Aqui percebe-se que
x-9 = (x+3)-12.
Essa reescrita é uma técnica comum: somar e subtrair o mesmo número para criar uma peça que se relaciona com a raiz do denominador.

Passo 3

Aplicando a reescrita no numerador e separando a fração em duas parcelas:
\frac{x-9}{\sqrt{x+3}} = \frac{(x+3)-12}{\sqrt{x+3}} = \frac{x+3}{\sqrt{x+3}} - \frac{12}{\sqrt{x+3}}.

Passo 4

Agora simplificamos a primeira parcela usando que (\sqrt{x+3})^2 = x+3. Então
\frac{x+3}{\sqrt{x+3}} = \frac{(\sqrt{x+3})^2}{\sqrt{x+3}} = \sqrt{x+3}.
Substituindo de volta, obtemos uma forma mais simples da expressão.

Passo 5

Portanto a expressão simplificada é
\sqrt{x+3} - \frac{12}{\sqrt{x+3}},
válida para x>-3.

Passo 6

Comentário extra (opcional): pode-se também ver isso como uma fatoração usando t=\sqrt{x+3}. Então x-9 = t^2-12 e
t^2-12 = (t-2\sqrt{3})(t+2\sqrt{3}),
o que leva à representação
\frac{( \sqrt{x+3}-2\sqrt{3})(\sqrt{x+3}+2\sqrt{3})}{\sqrt{x+3}},
mas essa forma não é mais simples do que \sqrt{x+3}-\dfrac{12}{\sqrt{x+3}}. A forma apresentada no passo anterior é a mais prática para usar em prova.

Resposta

\sqrt{x+3} - \dfrac{12}{\sqrt{x+3}}

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