Dada a função
,
a) Determine algebricamente os pontos no quais
.
b) Determine algebricamente os pontos no quais
.
c) Determine algebricamente os pontos de mínimo ou máximo de
.
d) Esboce o gráfico de
.
e) Determine os valores de
em que
a) Determine algebricamente os pontos no quais
b) Determine algebricamente os pontos no quais
c) Determine algebricamente os pontos de mínimo ou máximo de
d) Esboce o gráfico de
e) Determine os valores de
Passo 1
Vou começar identificando claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.
- A função dada é
. - Perguntas:
a) Determinar algebricamente os pontos em que.
b) Determinar algebricamente os pontos em que.
c) Determinar algebricamente os pontos de mínimo ou máximo de.
d) Esboçar o gráfico de.
e) Determinar os valores detais que .
Anotações úteis que vou usar (sem resolver ainda):
- Para resolver
vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) e/ou fatoração. - Para desigualdades envolvendo polinômios vou fatorar e analisar o sinal em cada intervalo entre raízes.
- Para extremos de uma quadrática
com , a coordenada do vértice é ; se há mínimo, se há máximo. Vou calcular também o valor de . - Observação:
para todo (porque ), isso simplifica a parte (e).
Passo 2
(a) Resolver
usando a fórmula quadrática (Bhaskara). Relembre a fórmula: para uma equação
as raízes são
onde
é o discriminante. Aqui
,
,
.
Calcular o discriminante:
A raiz quadrada de
é
. Aplicando a fórmula:
Portanto as duas raízes são
Passo 3
Ainda em (a), escrever a fatoração completa de
usando as raízes encontradas. Se uma quadrática tem raízes
e
então ela pode ser escrita como
. Assim,
Verificação rápida (opcional): multiplicando
obtém-se
, multiplicando por
volta-se a
.
Passo 4
(b) Resolver
. Primeiro isolo tudo para um lado:
Calculo
:
Logo a desigualdade é
Coloco em fator comum:
Então preciso resolver
As raízes desse produto são
e
. Para saber onde o produto é
, faço a análise de sinais entre as raízes. Ordenando as raízes:
. Testando um ponto entre elas, por exemplo
ou usando regra dos sinais: o produto é não-positivo exatamente no intervalo fechado entre as raízes porque os sinais dos fatores são opostos ali. Portanto
Concluo que para esses
vale
.
Passo 5
(c) Determinar pontos de mínimo ou máximo de
. Como
, a parábola abre para cima e
tem um único mínimo (não tem máximo global, pois cresce para
nas duas pontas).
A coordenada
do vértice é
Agora calculo o valor mínimo
. Posso substituir
em
:
Colocando tudo sobre o mesmo denominador
:
Portanto o mínimo ocorre em
e o valor mínimo é
.
Observação alternativa (fórmula direta): o valor do vértice pode ser dado por
; substituindo
,
,
obtém-se também
.
Passo 6
(d) Esboço do gráfico de
— orientação prática para desenhar na prova.
Pontos e características importantes para marcar:
- Raízes (onde corta o eixo
): e . (Peguei essas raízes da parte (a).) - Interseção com o eixo
: . - Vértice (mínimo):
, . O vértice está muito próximo do eixo e um pouco abaixo de . - Coeficiente quadrático
: parábola abre para cima; grande indica que a parábola é relativamente “estreita” (varia rápido em quando muda).
Como desenhar: trace o eixo
e
, marque os pontos
e
no eixo
, marquer
no eixo
, marcar o vértice pouco à esquerda de zero com valor aproximadamente
. Desenhe uma parábola passando por essas marcas, simétrica em relação à reta
.
Passo 7
(e) Resolver
.
Primeira observação (muito útil): para todo
,
porque
e então
. Portanto o fator
é sempre positivo e não afeta o sinal do produto; posso dividi-lo mentalmente. Assim a desigualdade é equivalente a
Agora uso a fatoração de
obtida em (a):
O fator constante
também não altera o sinal, então basta analisar o sinal do produto
As raízes que anulam
são
Ordenando:
.
Faço a análise de sinais por intervalos (ou use a regra de mudança de sinal em cada raiz simples): como o polinômio é de grau
com coeficiente líder positivo (produto dos coeficientes das três
tem sinal positivo), o sinal será:
- Para
: . - Entre
e : . - Entre
e : . - Para
: .
Como queremos
, incluímos onde o produto é positivo e também onde é zero (ou seja, as raízes). Portanto a solução é
Resposta
a)
e
b)
c) Mínimo em
com valor mínimo
. (Não há máximo.)
d) Parabola com concavidade para cima, raízes em
e
, vértice em
, ponto
-intercept em
. (Esboçar a parábola passando por esses pontos.)
e)