Dada a função f(x)=15 x^{2}+x-2,
a) Determine algebricamente os pontos no quais f(x)=0.
b) Determine algebricamente os pontos no quais f(x) \leq-2.
c) Determine algebricamente os pontos de mínimo ou máximo de f.
d) Esboce o gráfico de f.
e) Determine os valores de x em que
(x-4) f(x)\left(x^{2}+3\right) \geq 0

Passo 1

Vou começar identificando claramente o que o enunciado pede e quais dados temos.
  • A função dada é f(x)=15x^{2}+x-2.
  • Perguntas:
    a) Determinar algebricamente os pontos em que f(x)=0.
    b) Determinar algebricamente os pontos em que f(x)\le -2.
    c) Determinar algebricamente os pontos de mínimo ou máximo de f.
    d) Esboçar o gráfico de f.
    e) Determinar os valores de x tais que (x-4)\,f(x)\,(x^{2}+3)\ge 0.
Anotações úteis que vou usar (sem resolver ainda):
  • Para resolver f(x)=0 vou usar a fórmula de Bhaskara (fórmula quadrática) e/ou fatoração.
  • Para desigualdades envolvendo polinômios vou fatorar e analisar o sinal em cada intervalo entre raízes.
  • Para extremos de uma quadrática ax^{2}+bx+c com a\ne0, a coordenada do vértice é x_v=-\dfrac{b}{2a}; se a>0 há mínimo, se a<0 há máximo. Vou calcular também o valor de f(x_v).
  • Observação: x^{2}+3>0 para todo x\in\mathbb{R} (porque x^{2}\ge0), isso simplifica a parte (e).

Passo 2

(a) Resolver f(x)=0 usando a fórmula quadrática (Bhaskara). Relembre a fórmula: para uma equação ax^{2}+bx+c=0 as raízes são
x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a},
onde \Delta=b^{2}-4ac é o discriminante. Aqui a=15, b=1, c=-2.
Calcular o discriminante:
\Delta = 1^{2}-4\cdot15\cdot(-2) = 1 + 120 = 121.
A raiz quadrada de 121 é 11. Aplicando a fórmula:
x=\dfrac{-1\pm 11}{2\cdot 15} = \dfrac{-1\pm 11}{30}.
Portanto as duas raízes são
x_{1}=\dfrac{-1+11}{30}=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}, \qquad x_{2}=\dfrac{-1-11}{30}=\dfrac{-12}{30}=-\dfrac{2}{5}.

Passo 3

Ainda em (a), escrever a fatoração completa de f(x) usando as raízes encontradas. Se uma quadrática tem raízes r_{1} e r_{2} então ela pode ser escrita como a(x-r_{1})(x-r_{2}). Assim,
f(x)=15\Bigl(x-\dfrac{1}{3}\Bigr)\Bigl(x+\dfrac{2}{5}\Bigr).
Verificação rápida (opcional): multiplicando \Bigl(x-\dfrac{1}{3}\Bigr)\Bigl(x+\dfrac{2}{5}\Bigr) obtém-se x^{2}+\dfrac{1}{15}x-\dfrac{2}{15}, multiplicando por 15 volta-se a 15x^{2}+x-2.

Passo 4

(b) Resolver f(x)\le -2. Primeiro isolo tudo para um lado:
f(x)\le -2 \quad\Longleftrightarrow\quad f(x)+2\le 0.
Calculo f(x)+2:
f(x)+2 = (15x^{2}+x-2)+2 = 15x^{2}+x.
Logo a desigualdade é
15x^{2}+x \le 0.
Coloco em fator comum:
15x^{2}+x = x(15x+1).
Então preciso resolver
x(15x+1)\le 0.
As raízes desse produto são x=0 e x=-\dfrac{1}{15}. Para saber onde o produto é \le0, faço a análise de sinais entre as raízes. Ordenando as raízes: -\dfrac{1}{15}<0. Testando um ponto entre elas, por exemplo x=-\dfrac{1}{30} ou usando regra dos sinais: o produto é não-positivo exatamente no intervalo fechado entre as raízes porque os sinais dos fatores são opostos ali. Portanto
x\in\Bigl[-\dfrac{1}{15},\,0\Bigr].
Concluo que para esses x vale f(x)\le -2.

Passo 5

(c) Determinar pontos de mínimo ou máximo de f. Como a=15>0, a parábola abre para cima e f tem um único mínimo (não tem máximo global, pois cresce para +\infty nas duas pontas).
A coordenada x do vértice é
x_{v} = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{1}{2\cdot 15} = -\dfrac{1}{30}.
Agora calculo o valor mínimo f(x_{v}). Posso substituir x=-\dfrac{1}{30} em f:
x_{v}^{2}=\Bigl(-\dfrac{1}{30}\Bigr)^{2}=\dfrac{1}{900},
15x_{v}^{2}=15\cdot\dfrac{1}{900}=\dfrac{15}{900}=\dfrac{1}{60},
f(x_{v})=15x_{v}^{2}+x_{v}-2=\dfrac{1}{60}-\dfrac{1}{30}-2.
Colocando tudo sobre o mesmo denominador 60:
f(x_{v})=\dfrac{1}{60}-\dfrac{2}{60}-\dfrac{120}{60}=\dfrac{1-2-120}{60}=-\dfrac{121}{60}.
Portanto o mínimo ocorre em x=-\dfrac{1}{30} e o valor mínimo é f\!\bigl(-\dfrac{1}{30}\bigr)=-\dfrac{121}{60}.
Observação alternativa (fórmula direta): o valor do vértice pode ser dado por f(x_v)=\dfrac{4ac-b^{2}}{4a}; substituindo a=15, b=1, c=-2 obtém-se também -\dfrac{121}{60}.

Passo 6

(d) Esboço do gráfico de f — orientação prática para desenhar na prova.
Pontos e características importantes para marcar:
  • Raízes (onde corta o eixo x): x=-\dfrac{2}{5}=-0{,}4 e x=\dfrac{1}{3}\approx 0{,}333. (Peguei essas raízes da parte (a).)
  • Interseção com o eixo y: f(0)=-2.
  • Vértice (mínimo): x_{v}=-\dfrac{1}{30}\approx -0{,}0333, f(x_{v})=-\dfrac{121}{60}\approx -2{,}0167. O vértice está muito próximo do eixo y e um pouco abaixo de -2.
  • Coeficiente quadrático a=15>0: parábola abre para cima; a grande indica que a parábola é relativamente “estreita” (varia rápido em y quando x muda).
Como desenhar: trace o eixo x e y, marque os pontos x=-0{,}4 e x\approx0{,}333 no eixo x, marquer f(0)=-2 no eixo y, marcar o vértice pouco à esquerda de zero com valor aproximadamente -2{,}0167. Desenhe uma parábola passando por essas marcas, simétrica em relação à reta x=-\dfrac{1}{30}.

Passo 7

(e) Resolver (x-4)\,f(x)\,(x^{2}+3)\ge 0.
Primeira observação (muito útil): para todo x\in\mathbb{R},
x^{2}+3>0,
porque x^{2}\ge 0 e então x^{2}+3\ge 3>0. Portanto o fator (x^{2}+3) é sempre positivo e não afeta o sinal do produto; posso dividi-lo mentalmente. Assim a desigualdade é equivalente a
(x-4)\,f(x)\ge 0.
Agora uso a fatoração de f(x) obtida em (a):
f(x)=15\Bigl(x-\dfrac{1}{3}\Bigr)\Bigl(x+\dfrac{2}{5}\Bigr).
O fator constante 15>0 também não altera o sinal, então basta analisar o sinal do produto
P(x)=(x-4)\Bigl(x-\dfrac{1}{3}\Bigr)\Bigl(x+\dfrac{2}{5}\Bigr).
As raízes que anulam P(x) são
x=-\dfrac{2}{5},\quad x=\dfrac{1}{3},\quad x=4.
Ordenando: -\dfrac{2}{5} < \dfrac{1}{3} < 4.
Faço a análise de sinais por intervalos (ou use a regra de mudança de sinal em cada raiz simples): como o polinômio é de grau 3 com coeficiente líder positivo (produto dos coeficientes das três (x-\cdot) tem sinal positivo), o sinal será:
  • Para x>4: P(x)>0.
  • Entre \dfrac{1}{3} e 4: P(x)<0.
  • Entre -\dfrac{2}{5} e \dfrac{1}{3}: P(x)>0.
  • Para x<-\dfrac{2}{5}: P(x)<0.
Como queremos \ge 0, incluímos onde o produto é positivo e também onde é zero (ou seja, as raízes). Portanto a solução é
x\in\Bigl[-\dfrac{2}{5},\,\dfrac{1}{3}\Bigr]\cup\bigl[4,\infty\bigr).

Resposta

a) x=-\dfrac{2}{5} e x=\dfrac{1}{3}.
b) x\in\Bigl[-\dfrac{1}{15},\,0\Bigr].
c) Mínimo em x=-\dfrac{1}{30} com valor mínimo f\!\bigl(-\dfrac{1}{30}\bigr)=-\dfrac{121}{60}. (Não há máximo.)
d) Parabola com concavidade para cima, raízes em x=-\dfrac{2}{5} e x=\dfrac{1}{3}, vértice em \bigl(-\dfrac{1}{30},-\dfrac{121}{60}\bigr), ponto y-intercept em (0,-2). (Esboçar a parábola passando por esses pontos.)
e) x\in\Bigl[-\dfrac{2}{5},\,\dfrac{1}{3}\Bigr]\cup\bigl[4,\infty\bigr).

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