Resolva as inequações:
\frac{2 x+1}{x-4}<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
\frac{2x+1}{x-4}<0.
Aqui o conteúdo é inequações de função racional: vamos encontrar os pontos em que o numerador e o denominador se anulam, dividir a reta em intervalos e estudar o sinal em cada um.

Passo 2

Encontrar os valores críticos resolvendo
2x+1=0
e
x-4=0.
Da primeira equação vem
x=-\tfrac12,
e da segunda
x=4.
Em x=4 a expressão não está definida (denominador zero), então esse ponto também separa os intervalos.

Passo 3

Dividimos a reta real nos três intervalos determinados pelos pontos críticos:
(-\infty,\,-\tfrac12),\quad(-\tfrac12,\,4),\quad(4,\,\infty).
Em cada intervalo, avaliamos o sinal de numerador 2x+1 e denominador x-4:
  • Para x<-\tfrac12: 2x+1<0 e x-4<0, logo o quociente é positivo.
  • Para -\tfrac12<x<4: 2x+1>0 e x-4<0, logo o quociente é negativo.
  • Para x>4: 2x+1>0 e x-4>0, logo o quociente é positivo.

Passo 4

Queremos \frac{2x+1}{x-4}<0, ou seja, sinal negativo. Isso só ocorre quando numerador e denominador têm sinais opostos, o que vimos acontecer em
-\tfrac12 < x < 4.
Não incluímos x=-\tfrac12 porque aí o numerador anula (a fração vale zero) e também não incluímos x=4 porque não está definido.

Resposta

\bigl(-\tfrac12,\,4\bigr)

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