Derivada direcional zero Em quais direções a derivada de f(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}\right) /\left(x^{2}+y^{2}\right) em P(1,1) é igual a zero?
Existe uma direção u na qual a taxa de variação de f(x, y)= x^{2}-3 x y+4 y^{2} em P(1,2) é igual a 14 ? Justifique a sua resposta.

Passo 1

Estamos lidando com derivada direcional, que se obtém computando o gradiente de f e fazendo o produto escalar com uma direção unitária \mathbf u. No primeiro item, queremos as direções em que essa derivada é zero para
f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
em P(1,1).
No segundo item, verificamos se existe alguma direção unitária \mathbf u tal que a taxa de variação de
f(x,y)=x^{2}-3xy+4y^{2}
em P(1,2) seja igual a 14.

Passo 2

Calcular o gradiente de \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
usando regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{2x(x^{2}+y^{2})-(x^{2}-y^{2})\cdot2x}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =\frac{4x\,y^{2}}{(x^{2}+y^{2})^{2}},
\frac{\partial f}{\partial y} =\frac{-2y(x^{2}+y^{2})-(x^{2}-y^{2})\cdot2y}{(x^{2}+y^{2})^{2}} =-\frac{4x^{2}y}{(x^{2}+y^{2})^{2}}.
Em P(1,1) temos x^{2}+y^{2}=2, logo
\nabla f(1,1) =\bigl(\tfrac{4\cdot1\cdot1}{2^{2}},\,-\tfrac{4\cdot1\cdot1}{2^{2}}\bigr) =(1,\,-1).

Passo 3

A derivada direcional em \mathbf u=(u_{1},u_{2}) é
D_{\mathbf u}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot\mathbf u =1\cdot u_{1}+(-1)\cdot u_{2}=u_{1}-u_{2}.
Queremos u_{1}-u_{2}=0 sujeitando \|\mathbf u\|=1. Assim u_{1}=u_{2} e
u_{1}^{2}+u_{2}^{2}=2u_{1}^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad u_{1}=u_{2}=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 4

Agora, para \displaystyle f(x,y)=x^{2}-3xy+4y^{2}, calculemos o gradiente em P(1,2):
\frac{\partial f}{\partial x}=2x-3y, \quad \frac{\partial f}{\partial y}=-3x+8y.
Em (1,2) isso dá
\nabla f(1,2)=\bigl(2\cdot1-3\cdot2,\,-3\cdot1+8\cdot2\bigr)=(-4,13).

Passo 5

A derivada direcional D_{\mathbf u}f(1,2)=\nabla f(1,2)\cdot\mathbf u satisfaz
\bigl|D_{\mathbf u}f(1,2)\bigr|\le\|\nabla f(1,2)\|\;\|\mathbf u\| =\sqrt{(-4)^{2}+13^{2}}\;=\sqrt{185}\approx13{,}60.
Como \sqrt{185}<14, não há direção unitária capaz de produzir derivada igual a 14.

Resposta

As direções em que a derivada de \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
em P(1,1) é zero são
\mathbf u=\pm\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{2}},\tfrac{1}{\sqrt{2}}\bigr).
Não existe direção unitária em que a taxa de variação de \displaystyle f(x,y)=x^{2}-3xy+4y^{2}
em P(1,2) seja 14, pois 14>\|\nabla f(1,2)\|=\sqrt{185}.

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