Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação composta
Informações dadas:
- A expressão central é
. - O lado esquerdo é
. - O lado direito é
.
O objetivo é encontrar todos os valores de
que satisfazem simultaneamente essas duas desigualdades.
Passo 2
Primeiro simplifico a razão do lado direito porque fica mais fácil trabalhar:
Portanto a desigualdade fica
Uma inequação composta como essa significa que devem valer ao mesmo tempo as duas desigualdades:
Passo 3
Vou resolver a desigualdade da esquerda:
Regra importante: ao multiplicar ou dividir uma desigualdade por um número positivo, o sentido da desigualdade NÃO se altera. Aqui vou multiplicar ambos os lados por
(que é positivo), então:
Isto dá
Agora somo
em ambos os lados (somar a mesma coisa não altera o sentido):
Portanto
Divido ambos os lados por
(positivo, então o sentido se mantém):
Simplificando a fração:
Ou seja, a partir da desigualdade da esquerda obtemos
Passo 4
Agora resolvo a desigualdade da direita:
Multiplico ambos os lados por
(positivo):
Somando
aos dois lados:
Dividindo por
(positivo):
Passo 5
As duas condições devem valer simultaneamente, então tomo a interseção
Vale a pena checar rapidamente as extremidades:
- Para
: (satisfaz o lado esquerdo). - Para
: (satisfaz o lado direito).
Portanto a solução é correta e inclui os extremos.
Passo 6
Dica rápida para a prova: ao multiplicar/dividir desigualdades, sempre verifique o sinal do número que usa — se for negativo, o sentido da desigualdade inverte. Aqui usamos apenas números positivos (
e
), então não houve inversão. Também simplificar frações desde o início (como
) evita confusão.