Resolva as inequações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação composta e determinar todos os valores de
que satisfazem:
Informações dadas:
- É uma inequação composta com três termos encadeados: o termo da esquerda
, o termo do meio e o termo da direita . - Quer-se encontrar o conjunto de todos os números reais
que tornam verdadeira simultaneamente a desigualdade à esquerda e à direita.
Passo 2
Ideia para resolver (regra que vou usar): para inequações compostas do tipo
pode-se aplicar a mesma operação algebraica a todos os três termos ao mesmo tempo, desde que a operação não viole as regras das desigualdades. Em particular:
- Somar ou subtrair o mesmo número em todos os termos preserva as desigualdades.
- Multiplicar ou dividir por um número positivo preserva as desigualdades; se multiplicar ou dividir por um número negativo, inverte-se o sentido das desigualdades.
O objetivo é isolarno termo do meio.
Passo 3
Primeiro passo algébrico: eliminar o
que está subtraindo
. Para isso somo
a todos os termos da inequação. Escrevo a inequação e somo
:
Faço as somas:
e
. Assim obtenho
Passo 4
Agora isolo
dividindo todos os termos por
. Como
é positivo, o sentido das desigualdades não muda. Dividindo:
Portanto a solução em forma de desigualdade é
.
Passo 5
Interpretação e verificação rápida:
- Em notação de intervalo, a solução é
: inclui (colchete à esquerda) e exclui (parêntese à direita). - Testes rápidos:
- Para
: , que satisfaz (igualdade à esquerda). - Para
: , que está entre e . - Para
: , mas a desigualdade exige estritamente , então não está na solução.
Bom trabalho — essa é a técnica padrão para inequações compostas: operar em todos os termos até isolar a variável, cuidando do sinal ao dividir por números negativos (aqui não aconteceu).
- Para