Resolva as inequações.
-1 \leq 3 x-2<7

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação composta e determinar todos os valores de x que satisfazem:
-1 \leq 3x-2 < 7.
Informações dadas:
  • É uma inequação composta com três termos encadeados: o termo da esquerda -1, o termo do meio 3x-2 e o termo da direita 7.
  • Quer-se encontrar o conjunto de todos os números reais x que tornam verdadeira simultaneamente a desigualdade à esquerda e à direita.

Passo 2

Ideia para resolver (regra que vou usar): para inequações compostas do tipo \,a \le b \le c\, pode-se aplicar a mesma operação algebraica a todos os três termos ao mesmo tempo, desde que a operação não viole as regras das desigualdades. Em particular:
  • Somar ou subtrair o mesmo número em todos os termos preserva as desigualdades.
  • Multiplicar ou dividir por um número positivo preserva as desigualdades; se multiplicar ou dividir por um número negativo, inverte-se o sentido das desigualdades.
    O objetivo é isolar x no termo do meio.

Passo 3

Primeiro passo algébrico: eliminar o -2 que está subtraindo 3x. Para isso somo 2 a todos os termos da inequação. Escrevo a inequação e somo 2:
-1 \leq 3x-2 < 7
-1 + 2 \leq 3x-2 + 2 < 7 + 2
Faço as somas: -1+2 = 1 e 7+2 = 9. Assim obtenho
1 \leq 3x < 9.

Passo 4

Agora isolo x dividindo todos os termos por 3. Como 3 é positivo, o sentido das desigualdades não muda. Dividindo:
\frac{1}{3} \leq x < 3.
Portanto a solução em forma de desigualdade é \frac{1}{3} \leq x < 3.

Passo 5

Interpretação e verificação rápida:
  • Em notação de intervalo, a solução é \left[\tfrac{1}{3},\,3\right): inclui \tfrac{1}{3} (colchete à esquerda) e exclui 3 (parêntese à direita).
  • Testes rápidos:
    • Para x=\tfrac{1}{3}: 3x-2 = 1-2 = -1, que satisfaz -1 \le -1 < 7 (igualdade à esquerda).
    • Para x=1: 3x-2 = 3-2 = 1, que está entre -1 e 7.
    • Para x=3: 3x-2 = 9-2 = 7, mas a desigualdade exige estritamente <7, então x=3 não está na solução.
      Bom trabalho — essa é a técnica padrão para inequações compostas: operar em todos os termos até isolar a variável, cuidando do sinal ao dividir por números negativos (aqui não aconteceu).

Resposta

\left[\tfrac{1}{3},\,3\right)

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