Simplifique.
\frac{y^{2}+8 y+16}{3 y^{2}-y-2} \cdot \frac{3 y^{2}+2 y}{y+4}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
\frac{y^{2}+8 y+16}{3 y^{2}-y-2} \cdot \frac{3 y^{2}+2 y}{y+4}.
Informações dadas e o que precisamos fazer:
  • Temos um produto de duas frações algébricas envolvendo y.
  • Devemos fatorar numeradores e denominadores quando possível, cancelar fatores comuns e escrever a forma mais simples.
  • Observar que, ao cancelar, valores de y que anulam qualquer denominador original ficam proibidos (não podem ser usados), portanto será necessário apontar esses valores durante a resolução.

Passo 2

Fatorar y^{2}+8 y+16.
Explicando a técnica: quando uma expressão quadrática tem a forma \;a^{2}+2ab+b^{2}=(a+b)^{2}\; isso é um quadrado perfeito. Aqui podemos testar se y^{2}+8y+16 é um quadrado perfeito. Tomando a=y, queremos 2ab=8y então b=4. Assim
y^{2}+8y+16=(y+4)^{2}.

Passo 3

Fatorar 3 y^{2}-y-2.
Explicando a técnica (método ac / fatoração por agrupamento):
  • Primeiro calcule a\cdot c onde a=3 (coeficiente de y^{2}) e c=-2 (termo independente). Então a\cdot c=3\cdot(-2)=-6.
  • Procura-se dois números cuja soma seja o coeficiente do termo em y (que é -1) e cujo produto seja -6. Esses números são -3 e 2 porque (-3)+2=-1 e (-3)\cdot2=-6.
  • Reescreve-se o termo do meio usando esses dois números:
3y^{2}-y-2 = 3y^{2}-3y+2y-2.
  • Agrupa-se em pares e fatoram-se os fatores comuns:
3y^{2}-3y+2y-2 = 3y(y-1)+2(y-1).
  • Fatora-se o fator comum (y-1):
3y(y-1)+2(y-1)=(3y+2)(y-1).
Portanto
3 y^{2}-y-2=(3y+2)(y-1).

Passo 4

Fatorar 3 y^{2}+2 y.
Explicando a técnica: quando os termos têm um fator comum, basta colocá-lo em evidência. Aqui ambos os termos têm fator y:
3y^{2}+2y = y(3y+2).

Passo 5

Reescrever a expressão original com as fatorações obtidas e cancelar fatores comuns.
Substituindo as fatorações:
\frac{y^{2}+8 y+16}{3 y^{2}-y-2} \cdot \frac{3 y^{2}+2 y}{y+4} = \frac{(y+4)^{2}}{(3y+2)(y-1)} \cdot \frac{y(3y+2)}{y+4}.
Agora observe fatores idênticos que aparecem no numerador e denominador:
  • O fator (3y+2) aparece no numerador da segunda fração e no denominador da primeira, então pode ser cancelado.
  • O fator (y+4) aparece ao quadrado no numerador da primeira fração e uma vez no denominador da segunda fração; ao cancelar uma cópia com a que está no denominador resta uma cópia de (y+4) no numerador.
Fazendo os cancelamentos (lembre que se cancela somente fatores não nulos):
\frac{(y+4)^{2}}{(3y+2)(y-1)} \cdot \frac{y(3y+2)}{y+4} \;\longrightarrow\; \frac{(y+4)\cdot y}{y-1}.
Importante sobre domínio: não é permitido usar valores que anulem algum denominador original. Os denominadores originais eram (3y+2)(y-1) e (y+4), portanto excluem-se
y \neq -\tfrac{2}{3},\quad y \neq 1,\quad y \neq -4.
Mesmo depois do cancelamento esses valores continuam proibidos porque anulariam um dos denominadores iniciais.

Passo 6

Escrever a forma final simplificada e, se desejar, a forma expandida também.
A forma simplificada em fatorada é
\frac{y(y+4)}{y-1}.
A forma expandida do numerador é
\frac{y^{2}+4y}{y-1}.
Lembrando a restrição de domínio:
y \neq -\tfrac{2}{3},\quad y \neq 1,\quad y \neq -4.

Resposta

\dfrac{y(y+4)}{y-1}

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