Simplifique.
Passo 1
O enunciado pede para simplificar a expressão
Informações dadas e o que precisamos fazer:
- Temos um produto de duas frações algébricas envolvendo
. - Devemos fatorar numeradores e denominadores quando possível, cancelar fatores comuns e escrever a forma mais simples.
- Observar que, ao cancelar, valores de
que anulam qualquer denominador original ficam proibidos (não podem ser usados), portanto será necessário apontar esses valores durante a resolução.
Passo 2
Fatorar
.
Explicando a técnica: quando uma expressão quadrática tem a forma
isso é um quadrado perfeito. Aqui podemos testar se
é um quadrado perfeito. Tomando
, queremos
então
. Assim
Passo 3
Fatorar
.
Explicando a técnica (método
/ fatoração por agrupamento):
- Primeiro calcule
onde (coeficiente de ) e (termo independente). Então . - Procura-se dois números cuja soma seja o coeficiente do termo em
(que é ) e cujo produto seja . Esses números são e porque e . - Reescreve-se o termo do meio usando esses dois números:
- Agrupa-se em pares e fatoram-se os fatores comuns:
- Fatora-se o fator comum
:
Portanto
Passo 4
Fatorar
.
Explicando a técnica: quando os termos têm um fator comum, basta colocá-lo em evidência. Aqui ambos os termos têm fator
:
Passo 5
Reescrever a expressão original com as fatorações obtidas e cancelar fatores comuns.
Substituindo as fatorações:
Agora observe fatores idênticos que aparecem no numerador e denominador:
- O fator
aparece no numerador da segunda fração e no denominador da primeira, então pode ser cancelado. - O fator
aparece ao quadrado no numerador da primeira fração e uma vez no denominador da segunda fração; ao cancelar uma cópia com a que está no denominador resta uma cópia de no numerador.
Fazendo os cancelamentos (lembre que se cancela somente fatores não nulos):
Importante sobre domínio: não é permitido usar valores que anulem algum denominador original. Os denominadores originais eram
e
, portanto excluem-se
Mesmo depois do cancelamento esses valores continuam proibidos porque anulariam um dos denominadores iniciais.
Passo 6
Escrever a forma final simplificada e, se desejar, a forma expandida também.
A forma simplificada em fatorada é
A forma expandida do numerador é
Lembrando a restrição de domínio: