Resolva as inequações.
|x-1|>|2 x-1|

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valores absolutos
|x-1| > |2x-1|
Isso envolve a propriedade de que, para quaisquer reais u e v,
|u|>|v|Long<=ftrightarrow u^2>v^2
Vamos usar isso para reduzir ao estudo de uma inequação polinomial.

Passo 2

Aplicando a equivalência de elevar ao quadrado, temos
(x-1)^2 > (2x-1)^2

Passo 3

Expandindo ambos os lados e trazendo tudo para um só membro, obtemos
x^2 - 2x + 1 > 4x^2 - 4x + 1 Longrightarrow 0 > 4x^2 - 4x + 1 - x^2 + 2x - 1 Longrightarrow 0 > 3x^2 - 2x
ou seja,
3x^2 - 2x < 0

Passo 4

Fatorando a expressão quadrática:
3x^2 - 2x = x,(3x - 2)
A inequação x(3x-2)<0 é satisfeita quando x está entre as raízes, isto é,
0 < x < 23

Passo 5

Não há soluções extraviadas, pois elevar ao quadrado em valores absolutos é equivalente. Logo, a solução final é
(0,tfrac23)

Resposta

(0,tfrac23)

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