Resolva as inequações.
|x-3|+|2 x+3|-|5-x| \leq x+3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
|x-3| + |2x+3| - |5-x| \le x+3
O conteúdo envolve manipular valores absolutos usando a definição peça a peça (piecewise), quebrando o domínio em intervalos onde cada expressão dentro de cada módulo troca de sinal.

Passo 2

Identificamos os pontos em que os módulos mudam de ramo, isto é, onde os argumentos se anulam:
x-3=0\implies x=3,\quad 2x+3=0\implies x=-\tfrac{3}{2},\quad 5-x=0\implies x=5.
Isso define quatro intervalos:
(-\infty,-\tfrac{3}{2}),\quad [-\tfrac{3}{2},3),\quad [3,5),\quad [5,\infty).

Passo 3

Para x<-\tfrac{3}{2} temos
|x-3|=3-x,\quad |2x+3|=-2x-3,\quad |5-x|=5-x.
Logo
|x-3|+|2x+3|-|5-x|=(3-x)+(-2x-3)-(5-x)=-5-2x.
A inequação vira
-5-2x\le x+3\implies -3x\le8\implies x\ge -\tfrac{8}{3}.
Intersectando com x<-\tfrac{3}{2} obtemos
-\tfrac{8}{3}\le x<-\tfrac{3}{2}.

Passo 4

Para -\tfrac{3}{2}\le x<3 temos
|x-3|=3-x,\quad |2x+3|=2x+3,\quad |5-x|=5-x,
então
|x-3|+|2x+3|-|5-x|=(3-x)+(2x+3)-(5-x)=1+2x.
A inequação é
1+2x\le x+3\implies x\le2.
Intersectando com -\tfrac{3}{2}\le x<3
-\tfrac{3}{2}\le x\le2.

Passo 5

Para 3\le x<5 temos
|x-3|=x-3,\quad |2x+3|=2x+3,\quad |5-x|=5-x,
logo
(x-3)+(2x+3)-(5-x)=4x-5.
A inequação 4x-5\le x+3 leva a x\le\tfrac{8}{3}, mas isso não se sobrepõe ao intervalo x\ge3. Logo não há solução aqui.

Passo 6

Para x\ge5 temos
|x-3|=x-3,\quad |2x+3|=2x+3,\quad |5-x|=x-5,
então
(x-3)+(2x+3)-(x-5)=2x+5.
A inequação 2x+5\le x+3 x\le-2, incompatível com x\ge5. Não há solução nesta região.

Passo 7

Unindo os trechos onde conseguimos solução:
-\tfrac{8}{3}\le x<-\tfrac{3}{2} \quad\text{e}\quad -\tfrac{3}{2}\le x\le2
vemos que o conjunto‐solução é o intervalo contínuo
\bigl[-\tfrac{8}{3},\,2\bigr].

Resposta

-\frac{8}{3}\le x\le2.

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