Resolva as inequações.
|-1-x+2|>x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação com valor absoluto
\lvert -1 - x + 2\rvert > x.
O conteúdo aqui é inequações envolvendo valor absoluto. Para resolver, vamos:
  1. simplificar o que está dentro do módulo;
  2. analisar os casos em que o lado direito x é negativo ou não;
  3. dentro de x\ge0, dividir ainda em subcasos conforme o sinal de 1 - x.

Passo 2

Primeiro simplificamos o que está dentro do módulo:
-1 - x + 2 = 1 - x.
Assim a inequação fica
\lvert 1 - x\rvert > x.

Passo 3

Se x<0, então o lado direito x é negativo e o lado esquerdo \lvert1-x\rvert é sempre \ge0. Logo
\lvert1-x\rvert \ge 0 > x\quad\text{para todo }x<0.
Portanto toda x<0 satisfaz a inequação.

Passo 4

Agora considere x\ge0. Temos \lvert1-x\rvert> x. Dividimos em dois subcasos:
Subcaso 4.1: 1-x\ge0, ou seja x\le1. Então \lvert1-x\rvert = 1-x e
1 - x > x \quad\Longrightarrow\quad 1 > 2x \quad\Longrightarrow\quad x < \tfrac12.
Como estamos em 0\le x\le1, esse subcaso dá 0 \le x < \tfrac12.
Subcaso 4.2: 1-x<0, ou seja x>1. Então \lvert1-x\rvert = x-1 e
x - 1 > x \quad\Longrightarrow\quad -1 > 0,
que é impossível. Logo não há solução para x>1.

Passo 5

Juntando todas as soluções:
  • de x<0 temos todo o intervalo (-\infty,0);
  • de 0\le x<\tfrac12 temos [0,\tfrac12).
    Em conjunto, isso é simplesmente
x < \tfrac12.

Resposta

(-\infty,\,\tfrac12).

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