Resolva as inequações em R.
(a) 2x+3 >= x(x+3)^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação 2x+3 >= x(x+3)^2. Esse exercício faz parte da matéria de Inequações Racionais, onde trabalhamos com frações envolvendo variáveis. Para resolver, vamos precisar manipular essas frações, encontrar um denominador comum e analisar os intervalos que satisfazem a inequação.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer tudo para o mesmo denominador para facilitar a comparação. Observamos que o denominador da primeira fração é x + 3 e o da segunda é (x + 3)^2. O denominador comum será (x + 3)^2. Então, vamos reescrever a primeira fração com esse denominador:
2x + 3 = 2(x + 3)(x + 3)^2 = 2x + 6(x + 3)^2

Passo 3

Agora, a inequação fica:
2x + 6(x + 3)^2 >= x(x + 3)^2
Como os denominadores são iguais, podemos comparar os numeradores diretamente:
2x + 6 >= x

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade simples:
2x + 6 >= x
Subtraímos x de ambos os lados:
x + 6 >= 0
Subtraímos 6:
x >= -6

Passo 5

Entretanto, precisamos considerar o denominador original (x + 3)^2. Esse denominador é sempre positivo, exceto quando x + 3 = 0, ou seja, x neq -3. Portanto, a solução da inequação é x >= -6, mas excluindo x = -3.

Resposta

A solução da inequação é x >= -6, com x neq -3.

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