Resolva as inequações seguintes, em R.
|x^2-5 x| >= 6

Passo 1

O enunciado pede para resolver em R a inequação com módulo |x^2-5x|>=6. O conteúdo é inequações envolvendo valor absoluto e vamos precisar usar a definição de módulo e o estudo de sinais de polinômios fatorados.

Passo 2

Aplicando a definição de valor absoluto, temos duas situações:
x^2-5x>=6,[6pt] x^2-5x<=-6

Passo 3

Primeiro caso: resolver x^2-5x>=6. Subtraindo 6 de ambos os lados,
x^2-5x-6>=0
Fatorando o polinômio:
x^2-5x-6=(x-6)(x+1)
Para (x-6)(x+1)>=0, o produto só é não negativo quando ambos fatores são não negativos ou ambos não positivos. Isso leva a
x<=-1ou x>=6

Passo 4

Segundo caso: resolver x^2-5x<=-6. Somando 6 aos dois lados,
x^2-5x+6<=0
Fatorando:
x^2-5x+6=(x-2)(x-3)
Para (x-2)(x-3)<=0, o produto é não positivo quando os fatores têm sinais opostos, ou seja,
2<= x<=3

Passo 5

Unindo as soluções dos dois casos, a solução final é a reunião dos intervalos obtidos.

Resposta

(-\infty, -1] \cup [2, 3] \cup [6, \infty)

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