Seja a inequação |2-1x| <= 5. Quantas de suas soluções são números inteiros positivos e menores que 30?

Passo 1

O enunciado pede para a gente resolver a inequação com valor absoluto e depois contar quantas soluções são inteiros positivos menores que 30. O conteúdo envolvido é inequação do tipo |A| <= B, para o qual usamos a regra |A|<= B iff -B <= A <= B.

Passo 2

Aplicando essa regra à inequação |2 - tfrac1x| <= 5, obtemos:
-5 <= 2 - 1x <= 5

Passo 3

Como só nos interessam soluções com x>0 (porque vamos contar inteiros positivos), multiplicamos tudo por x, que é positivo, sem trocar sinais:
  • Para a parte 2 - tfrac1x >= -5:
2 - 1x >= -5
-1x >= -7
1x <= 7
x >= 17

Passo 4

  • Para a parte 2 - tfrac1x <= 5, temos:
2 - 1x <= 5
-1x <= 3
1x >= -3
Como tfrac1x é positivo quando x>0, essa segunda condição é sempre verdadeira.

Passo 5

Logo, para x>0 a solução da inequação é
x >= 17

Passo 6

Entre os inteiros positivos menores que 30 (isto é, 1,2,3,dots,29), todos satisfazem x>=tfrac17. Assim há 29 soluções.

Resposta

29

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