Resolva em R as inequações simultâneas abaixo:
(b) x^2 + 1 <= 2 x^2 - 3 < -5 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa inequação simultânea em . O exercício envolve resolver duas inequações ao mesmo tempo usando álgebra básica e propriedades das desigualdades. Para isso, vamos precisar isolar em cada inequação e encontrar os valores que satisfazem ambas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as duas inequações que estão conectadas pela desigualdade:
Vamos resolver cada uma delas individualmente.

Passo 3

Começando com a primeira inequação:
Vamos mover todos os termos para o lado esquerdo para facilitar:
Simplificando:
Multiplicando ambos os lados por (lembrando que ao multiplicar por um número negativo, a desigualdade se inverte):
Isso é uma inequação quadrática. Vamos resolvê-la encontrando as raízes:
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por essas raízes:
  • Para , por exemplo : (verdadeiro)
  • Para , por exemplo : (falso)
  • Para , por exemplo : (verdadeiro)
Então, a solução da primeira inequação é:
ou

Passo 4

Agora, vamos resolver a segunda inequação:
Primeiro, vamos mover todos os termos para o lado esquerdo:
Rearranjando os termos:
Essa é uma inequação quadrática. Vamos encontrar as raízes da equação associada:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Aqui, , , e :
Então:
Isso nos dá duas raízes:
Agora, vamos analisar os intervalos determinados por essas raízes:
  • Para , por exemplo : (falso)
  • Para , por exemplo : (verdadeiro)
  • Para , por exemplo : (falso)
Então, a solução da segunda inequação é:

Resposta

Unindo as soluções das duas inequações, precisamos que ou E . A interseção desses intervalos é:
Portanto, a solução do sistema de inequações é:

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