Resolva em R as inequações abaixo:
(b) raiz(x^2 - 3x) < 2;

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação no conjunto dos números reais, R. Aqui estamos lidando com inequações que envolvem raízes quadradas, então precisamos analisar onde a expressão dentro da raiz é não negativa e depois resolver a desigualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar o domínio da expressão dentro da raiz quadrada, ou seja, onde . Isso porque a raiz quadrada de um número negativo não está definida nos números reais.

Passo 3

Para resolver , vamos fatorar a expressão:
Agora, analisamos os pontos críticos onde a expressão muda de sinal, que são x = 0 e .

Passo 4

Dividindo a reta real nesses pontos, temos três intervalos para testar:
Vamos verificar o sinal de em cada intervalo:
  • Para , por exemplo, : .
  • Para , por exemplo, x = 1: .
  • Para , por exemplo, : .
Então, a expressão é verdadeira para x <= 0 ou .

Passo 5

Agora que temos o domínio, vamos resolver a inequação original dentro desses intervalos:
Para eliminar a raiz, elevamos ambos os lados ao quadrado:

Passo 6

Resolvendo a inequação quadrática resultante:
Fatoramos a expressão:

Passo 7

Encontramos os pontos críticos e . Esses pontos dividem a reta real em três intervalos para testar:
Vamos verificar o sinal de em cada intervalo:
  • Para , por exemplo, : .
  • Para , por exemplo, x = 0: .
  • Para , por exemplo, : .
Então, a inequação é verdadeira para .

Passo 8

Lembrando do domínio original ( x <= 0 ou ), vamos intersectar com a solução da inequação:
  • Para x <= 0 e , a interseção é .
  • Para e , a interseção é .

Resposta

A solução da inequação é:

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