A derivada de uma função num ponto
O limite
é muito importante, por isso receberá uma denominação especial.
Definição: Seja
uma função e
um ponto do seu domínio. Chama-se derivada da função
no ponto
e denota-se
(lê-se
linha de
), o limite
Forma alternativa para derivada:
Se fizermos
, obtemos a seguinte forma para
:
Outras notações para a derivada da função
num ponto
qualquer:
-
(lê-se:
linha de
);
-
(lê-se: derivada da função
em relação à
);
-
(lê-se: derivada de
em relação à
).
Questão 8
Dada a função
, determine
. Use as duas formas da definição.
Usando
Usando
O limite
Definição: Seja
Se fizermos
Usando
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre derivadas! A gente precisa encontrar a derivada da função
no ponto
, usando duas formas diferentes da definição de derivada. A matéria que estamos lidando aqui é Cálculo Diferencial, e vamos precisar entender como aplicar o limite para encontrar a derivada.
Passo 2
Vamos usar a primeira forma da definição de derivada:
No nosso caso,
, então temos:
Primeiro, vamos calcular
:
Agora, substituímos na expressão do limite:
Substituímos
pela função dada:
Agora, vamos fatorar o numerador:
Então, temos:
Podemos simplificar cancelando
:
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda forma da definição de derivada, que envolve
:
Substituindo
:
Primeiro, vamos calcular
:
Simplificando:
Agora, substituímos na expressão do limite:
Podemos fatorar
no numerador:
Resposta
A derivada da função
no ponto
é
.