Resolva as inequações x^3-4 x^2-17 x+50 >=-10

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação de 3º grau x^3-4x^2-17x+50>= -10. O assunto é inequações polinomiais e, para resolver, vamos precisar reescrever a desigualdade em termos de um polinômio f(x), encontrar suas raízes e depois fazer um estudo de sinal.

Passo 2

Primeiro, somamos 10 a ambos os lados para passar tudo para o lado esquerdo: \[ x{3}-4x{2}-17x+50 ;\ge; -10 \quad\Longrightarrow\quad x{3}-4x{2}-17x+60 \ge 0. \\ Definimos f(x)=x^3-4x^2-17x+60 e agora queremos f(x)>=0.

Passo 3

Em seguida, buscamos as raízes de f(x)=0 testando possíveis divisores de 60. Testando x=3 vemos: $$ f(3)=27-36-51+60=0, $$ logo f(3)=27-36-51+60=0, é raiz. Fazendo divisão sintética de x=3 por f(x) obtemos o quociente (x-3).

Passo 4

Resolvendo x^2-x-20=0 pelas fórmulas de Bhaskara temos $$ x=\frac{1\pm\sqrt{1+80}}{2}=\frac{1\pm9}{2}, x=1pmraiz1+802=1pm92,

Passo 5

Para decidir onde f(x)>=0, fazemos um quadro de sinais usando as raízes ordenadas -4,3,5. Em cada intervalo o sinal de (x-3)(x-5)(x+4) alterna, e encontramos que f(x)>=0 em
  • x=-4,3,5 (raízes, onde f=0),
  • e nos intervalos onde o produto é positivo: (-4,3) e (5,infty).

Passo 6

Juntando tudo, a solução da inequação é o conjunto de x tais que \[ x\in[-4,3]\cup[5,\infty). \\ Esse é o conjunto de valores que satisfaz f(x)>=0, ou seja, a inequação original.

Resposta

[-4,3] \cup [5,\infty)

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