Resolva as inequações
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação de 3º grau
. O assunto é inequações polinomiais e, para resolver, vamos precisar reescrever a desigualdade em termos de um polinômio
, encontrar suas raízes e depois fazer um estudo de sinal.
Passo 2
Primeiro, somamos 10 a ambos os lados para passar tudo para o lado esquerdo: \[ x{3}-4x{2}-17x+50 ;\ge; -10 \quad\Longrightarrow\quad x{3}-4x{2}-17x+60 \ge 0. \\ Definimos
e agora queremos
.
Passo 3
Em seguida, buscamos as raízes de
testando possíveis divisores de 60. Testando
vemos: $$ f(3)=27-36-51+60=0, $$ logo
é raiz. Fazendo divisão sintética de
por
obtemos o quociente
.
Passo 4
Resolvendo
pelas fórmulas de Bhaskara temos $$ x=\frac{1\pm\sqrt{1+80}}{2}=\frac{1\pm9}{2},
Passo 5
Para decidir onde
, fazemos um quadro de sinais usando as raízes ordenadas
. Em cada intervalo o sinal de
alterna, e encontramos que
em
-
(raízes, onde ), - e nos intervalos onde o produto é positivo:
e .
Passo 6
Juntando tudo, a solução da inequação é o conjunto de
tais que \[ x\in[-4,3]\cup[5,\infty). \\ Esse é o conjunto de valores que satisfaz
, ou seja, a inequação original.
Resposta
[-4,3] \cup [5,\infty)