(valor 3.0) Responder com verdadeiro ou falso (V/F) as afirmativas abaixo:
No espaço cartesiano R^3, o vetor normal à uma superfície de nível pode ser horizontal:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para responder se a afirmação sobre o vetor normal a uma superfície de nível no espaço tridimensional é verdadeira ou falsa. Vamos precisar entender um pouco de geometria analítica, especificamente sobre vetores normais e superfícies de nível.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. Em matemática, especialmente em cálculo multivariável, uma superfície de nível é o conjunto de todos os pontos onde uma função de três variáveis tem um valor constante. Por exemplo, , onde é uma constante.
Agora, o vetor normal a uma superfície é um vetor que é perpendicular à superfície em um ponto específico. Esse vetor é muito importante porque nos dá informação sobre a orientação da superfície naquele ponto.
Para encontrar o vetor normal a uma superfície de nível, usamos o gradiente da função . O gradiente, denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular à superfície de nível.

Passo 3

A afirmação diz que “no espaço cartesiano , o vetor normal a uma superfície de nível pode ser horizontal.” Vamos analisar isso.
Um vetor horizontal no espaço tridimensional é aquele que está paralelo ao plano , ou seja, não tem componente na direção . Isso significa que a componente do vetor normal seria zero.
Vamos considerar uma função simples, por exemplo, . A superfície de nível seria , que é um plano paralelo ao eixo e . O gradiente dessa função é , que é um vetor horizontal, já que não tem componente .

Resposta

Verdadeiro (V).

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