(valor 3.0) Responder com verdadeiro ou falso (V/F) as afirmativas abaixo:
No espaço cartesiano
, o vetor normal à uma superfície de nível pode ser horizontal:
No espaço cartesiano
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para responder se a afirmação sobre o vetor normal a uma superfície de nível no espaço tridimensional é verdadeira ou falsa. Vamos precisar entender um pouco de geometria analítica, especificamente sobre vetores normais e superfícies de nível.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma superfície de nível. Em matemática, especialmente em cálculo multivariável, uma superfície de nível é o conjunto de todos os pontos onde uma função de três variáveis
tem um valor constante. Por exemplo,
, onde
é uma constante.
Agora, o vetor normal a uma superfície é um vetor que é perpendicular à superfície em um ponto específico. Esse vetor é muito importante porque nos dá informação sobre a orientação da superfície naquele ponto.
Para encontrar o vetor normal a uma superfície de nível, usamos o gradiente da função
. O gradiente, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento da função e é perpendicular à superfície de nível.
Passo 3
A afirmação diz que “no espaço cartesiano
, o vetor normal a uma superfície de nível pode ser horizontal.” Vamos analisar isso.
Um vetor horizontal no espaço tridimensional é aquele que está paralelo ao plano
, ou seja, não tem componente na direção
. Isso significa que a componente
do vetor normal seria zero.
Vamos considerar uma função simples, por exemplo,
. A superfície de nível
seria
, que é um plano paralelo ao eixo
e
. O gradiente dessa função é
, que é um vetor horizontal, já que não tem componente
.
Resposta
Verdadeiro (V).