Resolva as inequações:
x-1x-2 <= x+3x+4

Passo 1

Beleza, vamos resolver a inequação x-1x-2 <= x+3x+4. Esse tipo de problema faz parte da matéria de Equações e Inequações Racionais. Para resolver, vamos precisar manipular frações algébricas, encontrar pontos críticos e analisar os intervalos onde a inequação é verdadeira.

Passo 2

Primeiro, vamos trazer todos os termos para a mesma fração para facilitar a análise. Subtraímos x+3x+4 de ambos os lados da inequação:
x-1x-2 - x+3x+4 <= 0

Passo 3

Agora, precisamos somar essas frações. Para isso, encontramos um denominador comum, que é o produto (x-2)(x+4):
(x-1)(x+4) - (x+3)(x-2)(x-2)(x+4) <= 0

Passo 4

Vamos expandir os numeradores:
(x-1)(x+4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4
(x+3)(x-2) = x^2 - 2x + 3x - 6 = x^2 + x - 6
Subtraindo os dois resultados:
x^2 + 3x - 4 - (x^2 + x - 6) = x^2 + 3x - 4 - x^2 - x + 6 = 2x + 2

Passo 5

Substituindo de volta na fração:
2x + 2(x-2)(x+4) <= 0
Podemos fatorar o numerador:
2(x + 1)
Então, a inequação fica:
2(x + 1)(x-2)(x+4) <= 0

Passo 6

Para resolver essa inequação, vamos identificar os pontos críticos, que são os valores de x que tornam o numerador ou o denominador iguais a zero:
  • Numerador: 2(x + 1) = 0 Rightarrow x = -1
  • Denominador: x - 2 = 0 Rightarrow x = 2 e x + 4 = 0 Rightarrow x = -4
Esses pontos dividem a linha dos números em intervalos que vamos analisar.

Passo 7

Vamos dividir a reta numérica nos intervalos determinados pelos pontos críticos: (-infty, -4), (-4, -1), (-1, 2) e (2, +infty).
Em cada intervalo, escolhemos um valor de x para testar o sinal da fração.
  • Intervalo (-infty, -4): Escolha x = -5
    2(-5 + 1)(-5-2)(-5+4) = 2(-4)(-7)(-1) = -87 < 0
  • Intervalo (-4, -1): Escolha x = -2
    2(-2 + 1)(-2-2)(-2+4) = 2(-1)(-4)(2) = -2-8 = 14 > 0
  • Intervalo (-1, 2): Escolha x = 0
    2(0 + 1)(0-2)(0+4) = 2(1)(-2)(4) = 2-8 = -14 < 0
  • Intervalo (2, +infty): Escolha x = 3
    2(3 + 1)(3-2)(3+4) = 2(4)(1)(7) = 87 > 0

Passo 8

Agora, observamos onde a fração é menor ou igual a zero:
  • Nos intervalos (-infty, -4) e (-1, 2), a fração é negativa.
  • Nos pontos x = -1, a fração é igual a zero.
No entanto, devemos considerar que a fração é indefinida em x = -4 e x = 2, então esses pontos não fazem parte da solução.

Passo 9

Portanto, a solução da inequação é:
x in (-4, -1] cup (2, +infty)

Resposta

A solução da inequação é x in, (-4, -1] cup, (2, +infty).

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