Resolva as inequações
x-2x^2-5 x+1<0

Passo 1

A inequação é $\frac{x-2}{x^{2}-5x+1}<0$. Isso cai em inequações racionais: precisamos achar onde numerador e denominador são zero, definir domínio e estudar o sinal da razão.

Passo 2

Primeiro, o numerador zera em $x-2=0$, ou seja, $x=2$. Para o denominador, calculamos $,x^{2}-5x+1=0$. O discriminante é $\Delta=25-4=21$, então as raízes são
x-2=0

Passo 3

Logo, o denominador é zero em $a=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$ e $b=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$. Esses valores não pertencem ao domínio da expressão.

Passo 4

Para resolver a inequação, usamos a técnica de quadro de sinais. Cada fator ($x-2$, $x-a$, $x-b$) muda de sinal ao passar pela sua raiz. Delimitamos os intervalos:
x-2

Passo 5

Em cada intervalo, escolhemos um ponto de teste e vemos o sinal de numerador e denominador:
  • Em x=0, por exemplo $x=0$: numerador $0-2<0$, denominador $0^{2}-5\cdot0+1>0$, razão negativa.
  • Em $ (a,2)$, por exemplo $x=1$: numerador negativa, denominador negativa, razão positiva.
  • Em $ (2,b)$, por exemplo $x=3$: numerador positiva, denominador negativa, razão negativa.
  • Em $ (b,\infty)$, por exemplo $x=5$: numerador positiva, denominador positiva, razão positiva.

Passo 6

Queremos regiões onde a razão é negativa. Além disso, excluímos pontos onde a expressão é zero ($x=2$) ou indefinida ($x=a,b$).

Resposta

(-infty,,5-raiz212)cup(2,,5+raiz212)

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