Resolva as inequações
Passo 1
A inequação é $\frac{x-2}{x^{2}-5x+1}<0$. Isso cai em inequações racionais: precisamos achar onde numerador e denominador são zero, definir domínio e estudar o sinal da razão.
Passo 2
Primeiro, o numerador zera em $x-2=0$, ou seja, $x=2$. Para o denominador, calculamos $,x^{2}-5x+1=0$. O discriminante é $\Delta=25-4=21$, então as raízes são
Passo 3
Logo, o denominador é zero em $a=\frac{5-\sqrt{21}}{2}$ e $b=\frac{5+\sqrt{21}}{2}$. Esses valores não pertencem ao domínio da expressão.
Passo 4
Para resolver a inequação, usamos a técnica de quadro de sinais. Cada fator ($x-2$, $x-a$, $x-b$) muda de sinal ao passar pela sua raiz. Delimitamos os intervalos:
Passo 5
Em cada intervalo, escolhemos um ponto de teste e vemos o sinal de numerador e denominador:
- Em
, por exemplo $x=0$: numerador $0-2<0$, denominador $0^{2}-5\cdot0+1>0$, razão negativa. - Em $ (a,2)$, por exemplo $x=1$: numerador negativa, denominador negativa, razão positiva.
- Em $ (2,b)$, por exemplo $x=3$: numerador positiva, denominador negativa, razão negativa.
- Em $ (b,\infty)$, por exemplo $x=5$: numerador positiva, denominador positiva, razão positiva.
Passo 6
Queremos regiões onde a razão é negativa. Além disso, excluímos pontos onde a expressão é zero ($x=2$) ou indefinida ($x=a,b$).