Resolva as inequações:
x^3+3 x^2-4 x-12x^2+4 x-5 >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação racional
x^3+3x^2-4x-12x^2+4x-5 >= 0
Conteúdo: inequações racionais. Vamos precisar fatorar numerador e denominador, achar os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador), montar o quadro de sinais e então escolher os intervalos onde a expressão é não negativa.

Passo 2

Primeiro fatoramos o numerador e o denominador.
Numerador por agrupamento:
x^3+3x^2-4x-12 = x^2(x+3)-4(x+3) = (x^2-4)(x+3) = (x-2)(x+2)(x+3)
Denominador:
x^2+4x-5 = (x+5)(x-1)

Passo 3

Os pontos que anulam numerador ou denominador são os pontos críticos. Numerador zero em
x=-3, x=-2, x=2,
Denominador zero em
x=-5, x=1,
Valores que anulam o denominador devem ser excluídos do domínio; valores que anulam o numerador podem ser incluídos pois a inequação é “≥ 0”.

Passo 4

Para montar o quadro de sinais, dividimos a reta real em intervalos pelos pontos críticos e testamos um valor em cada intervalo no produto
(x-2)(x+2)(x+3)(x+5)(x-1)
Escolhendo um valor de teste em cada região:
(-∞, -5): x=−6 → sinal negativo
(-5, -3): x=−4 → sinal positivo
(-3, -2): x=−2.5 → sinal negativo
(-2, 1): x=0 → sinal positivo
(1, 2): x=1.5 → sinal negativo
(2, ∞): x=3 → sinal positivo
Além disso, nos zeros do numerador (x=−3, −2, 2) a expressão vale 0; nos zeros do denominador (x=−5, 1) não está definida.

Passo 5

Com base no quadro de sinais e levando em conta que queremos onde a expressão é ≥ 0 (ou seja, positiva ou zero) e respeitando o domínio, selecionamos os intervalos correspondentes àqueles onde o sinal é positivo junto com os zeros do numerador, excluindo os zeros do denominador.

Resposta

x \in (-5,-3] \cup [-2,1) \cup [2,\infty)

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