Resolva as inequações:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação racional
Conteúdo: inequações racionais. Vamos precisar fatorar numerador e denominador, achar os pontos críticos (zeros do numerador e zeros do denominador), montar o quadro de sinais e então escolher os intervalos onde a expressão é não negativa.
Passo 2
Primeiro fatoramos o numerador e o denominador.
Numerador por agrupamento:
Denominador:
Passo 3
Os pontos que anulam numerador ou denominador são os pontos críticos. Numerador zero em
Denominador zero em
Valores que anulam o denominador devem ser excluídos do domínio; valores que anulam o numerador podem ser incluídos pois a inequação é “≥ 0”.
Passo 4
Para montar o quadro de sinais, dividimos a reta real em intervalos pelos pontos críticos e testamos um valor em cada intervalo no produto
Escolhendo um valor de teste em cada região:
(-∞, -5): x=−6 → sinal negativo
(-5, -3): x=−4 → sinal positivo
(-3, -2): x=−2.5 → sinal negativo
(-2, 1): x=0 → sinal positivo
(1, 2): x=1.5 → sinal negativo
(2, ∞): x=3 → sinal positivo
(-5, -3): x=−4 → sinal positivo
(-3, -2): x=−2.5 → sinal negativo
(-2, 1): x=0 → sinal positivo
(1, 2): x=1.5 → sinal negativo
(2, ∞): x=3 → sinal positivo
Além disso, nos zeros do numerador (x=−3, −2, 2) a expressão vale 0; nos zeros do denominador (x=−5, 1) não está definida.
Passo 5
Com base no quadro de sinais e levando em conta que queremos onde a expressão é ≥ 0 (ou seja, positiva ou zero) e respeitando o domínio, selecionamos os intervalos correspondentes àqueles onde o sinal é positivo junto com os zeros do numerador, excluindo os zeros do denominador.
Resposta
x \in (-5,-3] \cup [-2,1) \cup [2,\infty)