Resolva as inequações:
x^3+32x^3-x^2-8 x+12 >= 1

Passo 1

Estamos resolvendo a inequação racional x^3+32x^3-x^2-8x+12>=1, que cai no conteúdo de inequações racionais. Vamos precisar reduzir tudo a uma única fração e usar análise de sinais.

Passo 2

Subtraímos 1 dos dois lados para ter uma única fração no lado esquerdo:
x^3+32x^3-x^2-8x+12-1>=0
Colocando sobre o mesmo denominador, obtemos
x^3+32-(x^3-x^2-8x+12)x^3-x^2-8x+12>=0
que simplifica a
x^2+8x+20x^3-x^2-8x+12>=0

Passo 3

Analisamos o numerador x^2+8x+20. O discriminante é De. Como o coeficiente de x^2 é positivo, x^2+8x+20>0 para todo x.

Passo 4

Agora fatoramos o denominador x^3-x^2-8x+12. Testando raízes inteiras, vemos que x=2 é raiz dupla e x=-3 é simples. De fato,
x^3-x^2-8x+12=(x-2)^2(x+3)
As raízes são x=2 (multiplicidade 2) e x=-3 (multiplicidade 1).

Passo 5

Como o numerador é sempre positivo, o sinal da fração é o mesmo do denominador. Queremos (x-2)^2(x+3)>0. O fator (x-2)^2 é sempre >=0 e zera em x=2, mas para ser estritamente positivo basta olhar o sinal de x+3. Logo precisamos de x+3>0 e excluir os pontos em que o denominador zera ( x=2 e x=-3).

Passo 6

Concluímos que a desigualdade vale para todos os x tais que x>-3, exceto x=2, pois em x=2 o denominador anula. Portanto, a solução é (-3,2)cup(2,infty).

Resposta

(-3,2) \cup (2,\infty)

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