Resolva as inequações:
(2 x-3)(4-5 x)(-4 x+3) >= 0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação (2x-3)(4-5x)(-4x+3) >= 0. O conteúdo é análise de sinais de um produto de três fatores, e vamos precisar encontrar as raízes de cada fator e montar uma tabela de sinais.

Passo 2

Primeiro, achamos onde cada fator anula-se, isto é, resolvemos 2x-3=0, 4-5x=0 e -4x+3=0:
2x-3=0 implies x=32,
4-5x=0 implies x=45,
-4x+3=0 implies x=34

Passo 3

Ordenamos as raízes na reta real: x=34<45<32. Agora dividimos a reta em quatro intervalos e determinamos o sinal de cada fator em cada intervalo:
Intervalos: (-infty,tfrac34), (tfrac34,tfrac45), (tfrac45,tfrac32), (tfrac32,infty).
Fator sinal em (-infty,tfrac34) em (tfrac34,tfrac45) em (tfrac45,tfrac32) em (tfrac32,infty)
2x-3 +
4-5x + +
-4x+3 +
Produto + +

Passo 4

Queremos o produto maior ou igual a zero, então escolhemos os intervalos onde o produto é positivo ou nulo. Vimos que o produto é positivo em (tfrac34,tfrac45) e (tfrac32,infty). Além disso, nos pontos x=tfrac34,tfrac45,tfrac32 o produto vale zero, então podemos incluí-los.

Resposta

x \in [\tfrac34,\tfrac45] \cup [\tfrac32,\infty)

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