Resolva as inequações:
x^4+x+6

Passo 1

Vamos resolver a inequação x^4+x+6 < x^3+7x^2. O conteúdo aqui é inequação polinomial de quarto grau: vamos precisar transpor termos, definir uma função polinomial, fatorá-la, e depois estudar o sinal nos intervalos entre as raízes.

Passo 2

Subtraímos o lado direito para deixar tudo num único polinômio. Definimos
A inequação fica f(x)=x^4+x+6;-igl(x^3+7x^2r)=x^4-x^3-7x^2+x+6 .

Passo 3

Para fatorar f(x), aplicamos o Teorema das Raízes Racionais. Testamos candidatos pm1,pm2,pm3,pm6:
f(1)=1-1-7+1+6=0 → raiz x=1.
f(3)=81-27-63+3+6=0 → raiz x=3.
f(-1)=1+1-7-1+6=0 → raiz x=-1.
f(-2)=16+8-28-2+6=0 → raiz x=-2.
Assim, as raízes são -2,-1,1,3.

Passo 4

Fatoramos em etapas pelo método da divisão sintética ou divisão de polinômios. O resultado final é
f(x)=(x-1)(x-3)(x+1)(x+2)

Passo 5

Agora estudamos o sinal de f(x) em cada intervalo determinado pelas raízes -2,-1,1,3. Escolhendo pontos-teste:
• Para x<-2: todos os quatro fatores são negativos → produto positivo.
• Para -2: três fatores negativos e um positivo → produto negativo.
• Para -1: dois negativos e dois positivos → produto positivo.
• Para 1: um negativo e três positivos → produto negativo.
• Para x>3: todos positivos → produto positivo.
Queremos f(x)<0, daí os intervalos onde f é negativo são (-2,-1) e (1,3).

Resposta

x \in (-2,-1) \cup (1,3)

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