(2,0 pontos) Dada a função
, pede-se:
(a) Determine o domínio dessa função.
(b) Calcule os limites da função dada para
.
© Calcule os limites laterais que forem necessários.
(d) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função.
(e) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) da função.
(f) A função
é contínua em todos os reais? Se for, justifique. Caso contrário, diga quais são os pontos de descontinuidade e porquê.
(g) Faça um esboço do gráfico dessa função e apresente no gráfico onde foram utilizados os limites calculados nos itens (b) e ©.
(h) Determine a imagem dessa função.
(a) Determine o domínio dessa função.
(b) Calcule os limites da função dada para
© Calcule os limites laterais que forem necessários.
(d) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função.
(e) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) da função.
(f) A função
(g) Faça um esboço do gráfico dessa função e apresente no gráfico onde foram utilizados os limites calculados nos itens (b) e ©.
(h) Determine a imagem dessa função.
Passo 1
O enunciado pede várias análises para a função racional
. Vamos precisar de teoria de domínio de função, limites (no infinito e laterais), assíntotas (verticais e horizontais), continuidade, esboço de gráfico e imagem.
Passo 2
Para achar o domínio, identificamos que o denominador não pode ser zero. Temos
, logo excluímos
e
. O domínio é
.
Passo 3
Para os limites no infinito, lembramos que em uma função racional o comportamento é dado pelas maiores ordens de
. Aqui o grau do denominador (2) é maior que o do numerador (1), então
Passo 4
Para os limites laterais em
e
, primeiro simplificamos (para
)
Passo 5
Em
há assimptota vertical:
Passo 6
Em
a simplificação mostra que
$$\lim_{x\to-2}\frac{x+2}{x^2-4}=\lim_{x\to-2}\frac1{x-2}=-\tfrac14,
$$mas a função não está definida em
, ou seja, há um ponto removível (buraco) em
.
Passo 7
A única assíntota vertical é
. A assíntota horizontal vem de
no infinito, portanto
.
Passo 8
Para continuidade, a função é contínua em todo o domínio
. Em
há descontinuidade removível e em
descontinuidade essencial (infinita).
Passo 9
O esboço do gráfico é o de
com reta vertical em
e horizontal em
, e um buraco em
. Usamos os limites no infinito para aproximar as assíntotas e os limites laterais em
para o comportamento “explodindo”.
Passo 10
Para a imagem, como
(com
) atinge todos os reais menos
, e o valor
só ocorreria em
que não está no domínio, temos
Resposta
a) Domínio:
. b)
,
. c)
,
,
. d) Assíntota vertical:
. e) Assíntota horizontal:
. f) Não é contínua em
(ponto removível) e em
(descontinuidade infinita). g) Esboço: hipérbole de
com assíntotas
,
e buraco em
, comportamentos nos limites conforme calculado. h) Imagem:
.