(2,0 pontos) Dada a função y=x+2x^2-4, pede-se:
(a) Determine o domínio dessa função.
(b) Calcule os limites da função dada para x -infty ex +infty.
© Calcule os limites laterais que forem necessários.
(d) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função.
(e) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) da função.
(f) A função f é contínua em todos os reais? Se for, justifique. Caso contrário, diga quais são os pontos de descontinuidade e porquê.
(g) Faça um esboço do gráfico dessa função e apresente no gráfico onde foram utilizados os limites calculados nos itens (b) e ©.
(h) Determine a imagem dessa função.

Passo 1

O enunciado pede várias análises para a função racional y=tfracx+2x^2-4. Vamos precisar de teoria de domínio de função, limites (no infinito e laterais), assíntotas (verticais e horizontais), continuidade, esboço de gráfico e imagem.

Passo 2

Para achar o domínio, identificamos que o denominador não pode ser zero. Temos x^2-4=(x-2)(x+2), logo excluímos x=2 e x=-2. O domínio é Rsetminus-2,2.

Passo 3

Para os limites no infinito, lembramos que em uma função racional o comportamento é dado pelas maiores ordens de x. Aqui o grau do denominador (2) é maior que o do numerador (1), então
limxto+inftyx+2x^2-4=0^+elimxto-inftyx+2x^2-4=0^-

Passo 4

Para os limites laterais em x=2 e x=-2, primeiro simplificamos (para xneqpm2)
x+2x^2-4=x+2(x+2)(x-2)=1x-2

Passo 5

Em x=2 há assimptota vertical:
limxto2^-1x-2=-infty, limxto2^+1x-2=+infty

Passo 6

Em x=-2 a simplificação mostra que
$$\lim_{x\to-2}\frac{x+2}{x^2-4}=\lim_{x\to-2}\frac1{x-2}=-\tfrac14,
$$mas a função não está definida em limxto-2x+2x^2-4=limxto-21x-2=-tfrac14, , ou seja, há um ponto removível (buraco) em x=-2.

Passo 7

A única assíntota vertical é x=2. A assíntota horizontal vem de yto0 no infinito, portanto y=0.

Passo 8

Para continuidade, a função é contínua em todo o domínio Rsetminus-2,2. Em x=-2 há descontinuidade removível e em x=2 descontinuidade essencial (infinita).

Passo 9

O esboço do gráfico é o de y=1/(x-2) com reta vertical em x=2 e horizontal em y=0, e um buraco em (-2,-1/4). Usamos os limites no infinito para aproximar as assíntotas e os limites laterais em x=2 para o comportamento “explodindo”.

Passo 10

Para a imagem, como y=1/(x-2) (com xneq2) atinge todos os reais menos 0, e o valor -1/4 só ocorreria em x=-2 que não está no domínio, temos
Im(f)=Rsetminus0,-tfrac14

Resposta

a) Domínio: Rsetminus-2,2. b) limxto+inftyy=0^+, limxto-inftyy=0^-. c) limxto2^-y=-infty, limxto2^+y=+infty, limxto-2y=-tfrac14. d) Assíntota vertical: x=2. e) Assíntota horizontal: y=0. f) Não é contínua em x=-2 (ponto removível) e em x=2 (descontinuidade infinita). g) Esboço: hipérbole de y=1/(x-2) com assíntotas x=2, y=0 e buraco em (-2,-1/4), comportamentos nos limites conforme calculado. h) Imagem: Rsetminus0,-1/4.

Exercícios relacionados