Resolva:
\int e^{a x} \sin (b x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{a x}\sin(b x)\,dx,
onde a e b são constantes reais (assuma b\neq0 para evitar dividir por zero nas antiderivadas trigonométricas). A tarefa é encontrar uma expressão para essa primitiva, incluindo a constante de integração.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u e dv são duas partes da integranda que escolhemos; du é a derivada de u em relação a x multiplicada por dx, e v é uma primitiva de dv. A razão de usar essa técnica é que a função é produto de e^{a x} com uma função trigonométrica, e aplicando partes duas vezes conseguimos voltar a uma equação em que a própria integral aparece, permitindo resolver por álgebra.

Passo 3

Defina
I=\int e^{a x}\sin(b x)\,dx.
Escolho para a primeira integração por partes u=e^{a x} e dv=\sin(b x)\,dx. Então
du = a e^{a x}\,dx,\qquad v=\int \sin(b x)\,dx = -\frac{\cos(b x)}{b}.
Aplicando a fórmula:
I = u v - \int v\,du = -\frac{e^{a x}\cos(b x)}{b} + \frac{a}{b}\int e^{a x}\cos(b x)\,dx.
Para simplificar, defina também
J=\int e^{a x}\cos(b x)\,dx.
Assim obtivemos a relação
I = -\frac{e^{a x}\cos(b x)}{b} + \frac{a}{b} J.

Passo 4

Agora calculamos J por integração por partes de forma análoga. Tome u=e^{a x} e dv=\cos(b x)\,dx. Então
du=a e^{a x}\,dx,\qquad v=\int\cos(b x)\,dx = \frac{\sin(b x)}{b}.
Aplicando a fórmula:
J = u v - \int v\,du = \frac{e^{a x}\sin(b x)}{b} - \frac{a}{b}\int e^{a x}\sin(b x)\,dx.
Mas \int e^{a x}\sin(b x)\,dx é exatamente I. Logo
J = \frac{e^{a x}\sin(b x)}{b} - \frac{a}{b} I.

Passo 5

Substitua a expressão de J obtida no Passo 4 na relação do Passo 3:
I = -\frac{e^{a x}\cos(b x)}{b} + \frac{a}{b}\left(\frac{e^{a x}\sin(b x)}{b} - \frac{a}{b} I\right).
Distribuindo e organizando termos:
I = -\frac{e^{a x}\cos(b x)}{b} + \frac{a e^{a x}\sin(b x)}{b^2} - \frac{a^2}{b^2} I.
Agora junte os termos com I no lado esquerdo:
I + \frac{a^2}{b^2} I = -\frac{e^{a x}\cos(b x)}{b} + \frac{a e^{a x}\sin(b x)}{b^2}.
Fatore I no lado esquerdo:
I\left(1+\frac{a^2}{b^2}\right) = -\frac{e^{a x}\cos(b x)}{b} + \frac{a e^{a x}\sin(b x)}{b^2}.
Simplifique o fator da esquerda: 1+\dfrac{a^2}{b^2}=\dfrac{a^2+b^2}{b^2}. Assim
I = \frac{b^2}{a^2+b^2}\left(-\frac{e^{a x}\cos(b x)}{b} + \frac{a e^{a x}\sin(b x)}{b^2}\right).

Passo 6

Simplifique a expressão multiplicando os fatores:
I = -\frac{b\,e^{a x}\cos(b x)}{a^2+b^2} + \frac{a\,e^{a x}\sin(b x)}{a^2+b^2}.
Agrupando em uma única fração:
I = \frac{e^{a x}\bigl(a\sin(b x)-b\cos(b x)\bigr)}{a^2+b^2} + C,
onde C é a constante de integração. Essa é a primitiva procurada. (Se quiser checar, derive essa expressão e confirme que o resultado é e^{a x}\sin(b x).)

Resposta

\frac{e^{a x}\bigl(a\sin(b x)-b\cos(b x)\bigr)}{a^2+b^2}+C

Exercícios relacionados