Resolva:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
onde
e
são constantes reais (assuma
para evitar dividir por zero nas antiderivadas trigonométricas). A tarefa é encontrar uma expressão para essa primitiva, incluindo a constante de integração.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
Aqui
e
são duas partes da integranda que escolhemos;
é a derivada de
em relação a
multiplicada por
, e
é uma primitiva de
. A razão de usar essa técnica é que a função é produto de
com uma função trigonométrica, e aplicando partes duas vezes conseguimos voltar a uma equação em que a própria integral aparece, permitindo resolver por álgebra.
Passo 3
Defina
Escolho para a primeira integração por partes
e
. Então
Aplicando a fórmula:
Para simplificar, defina também
Assim obtivemos a relação
Passo 4
Agora calculamos
por integração por partes de forma análoga. Tome
e
. Então
Aplicando a fórmula:
Mas
é exatamente
. Logo
Passo 5
Substitua a expressão de
obtida no Passo 4 na relação do Passo 3:
Distribuindo e organizando termos:
Agora junte os termos com
no lado esquerdo:
Fatore
no lado esquerdo:
Simplifique o fator da esquerda:
. Assim
Passo 6
Simplifique a expressão multiplicando os fatores:
Agrupando em uma única fração:
onde
é a constante de integração. Essa é a primitiva procurada. (Se quiser checar, derive essa expressão e confirme que o resultado é
.)