Resolva as integrais abaixo, algumas delas será necessário aplicar mais de uma técnica de integração.
integral sec ^2 x(4-tan ^2 x)^32 d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular integral sec^2 x(4-tan^2 x)^3/2,dx. O conteúdo principal aqui é integração por substituição, combinada com uma substituição trigonométrica para resolver a integral resultante.

Passo 2

Vamos usar a substituição u=tan x. Da derivada de tan x vem du=sec^2 x,dx. Assim, a integral vira
integral sec^2 x(4-tan^2 x)^3/2,dx = integral du(4-u^2)^3/2

Passo 3

Para computar integral du(4-u^2)^3/2, fazemos a substituição trigonométrica u=2sintheta. Então
du=2costheta,dtheta,
4-u^2=4-4sin^2theta=4cos^2theta,
portanto
(4-u^2)^3/2=(4cos^2theta)^3/2=8cos^3theta
A integral torna-se
integral 2costheta,dtheta8cos^3theta =14integral dthetacos^2theta =14integral sec^2theta,dtheta

Passo 4

Integrando, obtemos
14integral sec^2theta,dtheta =14tantheta + C
Agora voltamos para u: como u=2sintheta, temos tantheta=sinthetacostheta=u/2raiz1-sin^2theta=uraiz4-u^2 Então
14tantheta = 14cdoturaiz4-u^2

Passo 5

Por fim, substituímos u=tan x de volta. A primitiva original é
F(x)=tan x4raiz4-tan^2 x + C

Resposta

tan x4raiz4-tan^2 x + C

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