Mostre que sen 31^circ+sen 29^circ=sen 89^circ.
9. Resolva:
(a) 2 cos ^2 x+3=5 cos x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: mostrar que sin 31^circ + sin 29^circ = sin 89^circ (identidade de soma de senos) e resolver a equação trigonométrica 2cos^2 x +3 =5cos x. Vamos usar fórmulas de identidades trigonométricas e técnicas de resolução de equações quadráticas em cos x.

Passo 2

Para provar a soma de senos, usamos a identidade bem conhecida:
sin u + sin v = 2 sinl(tfracu+v2r) cosl(tfracu-v2r)
Aqui temos u=31^circ e v=29^circ. Substituindo na fórmula:
sin 31^circ + sin 29^circ = 2 sinl(tfrac31^circ+29^circ2r) cosl(tfrac31^circ-29^circ2r) = 2 sin 30^circ cos 1^circ
Como sin 30^circ = tfrac12, temos
2 cdot tfrac12 cdot cos 1^circ = cos 1^circ
E usando a relação entre co-ângulos, cos 1^circ = sin(90^circ - 1^circ) = sin 89^circ. Logo a identidade está provada.

Passo 3

Agora para a equação 2cos^2 x +3 =5cos x, trazemos tudo para um lado e definimos y=cos x:
2y^2 - 5y + 3 = 0
Resolvendo a quadrática em y, o discriminante é De. Logo
y = 5 pm 14 implies y1 = 64 = tfrac32, y2 = 44 = 1
Mas y=cos x só pode variar entre [-1,1], então descartamos y=tfrac32 e ficamos com cos x = 1. A solução geral de cos x = 1 é
x = 2kpi, k in Z

Resposta

A identidade sin 31^circ + sin 29^circ = sin 89^circ está demonstrada. A solução geral da equação 2cos^2 x +3 =5cos x é x = 2kpi, com kinZ.

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