Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas e observações imediatas:
- A variável de integração é
. - O integrando contém
e de forma que a derivada de é justamente . - O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, uma expressão que ao derivar dê o integrando), mais uma constante de integração
.
Passo 2
Escolha de método: substituição simples. Explicação didática do motivo:
- Quando vemos uma função do tipo
dentro de outra função (aqui dentro da raiz) e o numerador é , isso sugere usar a substituição porque a derivada de é . - Vamos aplicar essa substituição. Escrevendo explicitamente a relação das diferenciais:
Isto significa que o
do integrando será trocado por
.
Passo 3
Troca da integral em
pela integral em
. Usando a substituição acima, reescrevemos a integral:
Agora o problema ficou mais simples: integrar
em relação a
.
Passo 4
Resolver
. Dois caminhos pedagógicos (escolha e explicação):
Opção direta (reconhecimento de primitiva conhecida):
- Existe uma primitiva bem conhecida:
Portanto
Justificativa rápida dessa igualdade (para entender de onde vem
):
- Defina
. Por definição isso significa . - Diferenciando
em relação a obtemos . - Como
tem-se . - Logo
, ou seja .
Opção alternativa (expressão logarítmica equivalente):
- Também é útil saber que
o que pode ser verificado resolvendo
para
em termos de
(ou diferenciando a expressão logarítmica para checar que dá
). Assim
Passo 5
Voltar à variável original
. Substituindo
na primitiva encontrada, obtemos as formas da antiderivada em
:
sendo as duas expressões equivalentes (diferençam apenas na forma de escrever a mesma primitiva).
Passo 6
Verificação rápida (como checar na prova): derivando
aplica-se a regra da cadeia; a derivada interna de
é
e a derivada da raiz conduz a cancelamentos que resultam exatamente em
. Assim
retorna o integrando, confirmando que a primitiva está correta.