Resolva as integrais abaixo:
\int \frac{\cos (t)}{\sqrt{1+\operatorname{sen}^{2}(t)}} d t

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int \frac{\cos(t)}{\sqrt{1+\sin^{2}(t)}}\,dt.
Informações dadas e observações imediatas:
  • A variável de integração é t.
  • O integrando contém \cos(t) e \sin(t) de forma que a derivada de \sin(t) é justamente \cos(t).
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (ou seja, uma expressão que ao derivar dê o integrando), mais uma constante de integração C.

Passo 2

Escolha de método: substituição simples. Explicação didática do motivo:
  • Quando vemos uma função do tipo \sin(t) dentro de outra função (aqui dentro da raiz) e o numerador é \cos(t), isso sugere usar a substituição \,u=\sin(t)\, porque a derivada de \sin(t) é \cos(t).
  • Vamos aplicar essa substituição. Escrevendo explicitamente a relação das diferenciais:
u=\sin(t)\qquad\Rightarrow\qquad du=\cos(t)\,dt.
Isto significa que o \cos(t)\,dt do integrando será trocado por du.

Passo 3

Troca da integral em t pela integral em u. Usando a substituição acima, reescrevemos a integral:
\int \frac{\cos(t)}{\sqrt{1+\sin^{2}(t)}}\,dt = \int \frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du.
Agora o problema ficou mais simples: integrar \dfrac{1}{\sqrt{1+u^{2}}} em relação a u.

Passo 4

Resolver \displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du. Dois caminhos pedagógicos (escolha e explicação):
Opção direta (reconhecimento de primitiva conhecida):
  • Existe uma primitiva bem conhecida:
\frac{d}{du}\bigl(\operatorname{arsinh}(u)\bigr)=\frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}.
Portanto
\int \frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du=\operatorname{arsinh}(u)+C.
Justificativa rápida dessa igualdade (para entender de onde vem \operatorname{arsinh}):
  • Defina y=\operatorname{arsinh}(u). Por definição isso significa u=\operatorname{sinh}(y).
  • Diferenciando u=\operatorname{sinh}(y) em relação a y obtemos \dfrac{du}{dy}=\operatorname{cosh}(y).
  • Como \operatorname{cosh}^{2}(y)-\operatorname{sinh}^{2}(y)=1 tem-se \operatorname{cosh}(y)=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}(y)}=\sqrt{1+u^{2}}.
  • Logo \dfrac{dy}{du}=\dfrac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}, ou seja \dfrac{d}{du}\bigl(\operatorname{arsinh}(u)\bigr)=\dfrac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}.
Opção alternativa (expressão logarítmica equivalente):
  • Também é útil saber que
\operatorname{arsinh}(u)=\ln\!\bigl(u+\sqrt{1+u^{2}}\bigr),
o que pode ser verificado resolvendo u=\operatorname{sinh}(y) para y em termos de u (ou diferenciando a expressão logarítmica para checar que dá 1/\sqrt{1+u^{2}}). Assim
\int \frac{1}{\sqrt{1+u^{2}}}\,du=\ln\!\bigl(u+\sqrt{1+u^{2}}\bigr)+C.

Passo 5

Voltar à variável original t. Substituindo u=\sin(t) na primitiva encontrada, obtemos as formas da antiderivada em t:
\operatorname{arsinh}(\sin t)+C \qquad\text{ou}\qquad \ln\!\bigl(\sin t+\sqrt{1+\sin^{2}t}\bigr)+C,
sendo as duas expressões equivalentes (diferençam apenas na forma de escrever a mesma primitiva).

Passo 6

Verificação rápida (como checar na prova): derivando
F(t)=\ln\!\bigl(\sin t+\sqrt{1+\sin^{2}t}\bigr)
aplica-se a regra da cadeia; a derivada interna de \sin t é \cos t e a derivada da raiz conduz a cancelamentos que resultam exatamente em \dfrac{\cos t}{\sqrt{1+\sin^{2}t}}. Assim F'(t) retorna o integrando, confirmando que a primitiva está correta.

Resposta

\operatorname{arsinh}(\sin t)+C = \ln\!\bigl(\sin t+\sqrt{1+\sin^{2}t}\bigr)+C

Exercícios relacionados