Resolva as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A integranda é a função
. - É uma integral indefinida (ou seja, pede a primitiva geral), então devemos incluir a constante de integração
. - Observe que a função tem termo
, que não está definida em ; logo a primitiva será válida em intervalos onde .
Passo 2
Usarei duas propriedades básicas de integrais que são essenciais e fáceis de aplicar:
- Linearidade: para funções
e ,
- Fator constante: para constante
,
Aplicando isso aqui podemos separar a integral em duas:
Passo 3
Vou usar a regra do “expoente” (power rule) para primitivação. Esta regra diz que, para qualquer número real
com
,
Explicação do porquê: ao derivar
usando a regra da potência para derivadas obtém-se
, então essa fração é uma primitiva de
. A exceção
ocorre porque aí a fórmula daria divisão por zero; nesse caso a primitiva é
.
No nosso problema os expoentes são
e
; ambos são diferentes de
, então podemos aplicar a fórmula.
Passo 4
Primitiva do primeiro termo
:
Aplicando a fórmula com ,
Aplicando a fórmula com
Expliquei passo a passo: some 1 ao expoente (2+1=3) e divida por esse número (3).
Passo 5
Primitiva do segundo termo
:
Aplicando a fórmula com ,
Aplicando a fórmula com
Agora lembre que na integral original temos um sinal negativo antes de
, então
Escrevendo
em forma mais familiar,
.
Passo 6
Juntando os dois resultados e adicionando a constante de integração
,
Passo 7
Verificação rápida (checagem que ajuda na prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar a integranda. Derivando
:
Somando dá
, que é a integranda correta.