Resolva as integrais abaixo:
\int\left(x^{2}-x^{-2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int\left(x^{2}-x^{-2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A integranda é a função x^{2}-x^{-2}.
  • É uma integral indefinida (ou seja, pede a primitiva geral), então devemos incluir a constante de integração C.
  • Observe que a função tem termo x^{-2}, que não está definida em x=0; logo a primitiva será válida em intervalos onde x\neq0.

Passo 2

Usarei duas propriedades básicas de integrais que são essenciais e fáceis de aplicar:
  1. Linearidade: para funções f e g,
\int\big(f(x)+g(x)\big)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.
  1. Fator constante: para constante a,
\int a\cdot f(x)\,dx = a\int f(x)\,dx.
Aplicando isso aqui podemos separar a integral em duas:
\int\left(x^{2}-x^{-2}\right)\,dx = \int x^{2}\,dx - \int x^{-2}\,dx.

Passo 3

Vou usar a regra do “expoente” (power rule) para primitivação. Esta regra diz que, para qualquer número real n com n\neq-1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Explicação do porquê: ao derivar \dfrac{x^{n+1}}{n+1} usando a regra da potência para derivadas obtém-se x^{n}, então essa fração é uma primitiva de x^n. A exceção n=-1 ocorre porque aí a fórmula daria divisão por zero; nesse caso a primitiva é \ln|x|.
No nosso problema os expoentes são n=2 e n=-2; ambos são diferentes de -1, então podemos aplicar a fórmula.

Passo 4

Primitiva do primeiro termo x^{2}:
Aplicando a fórmula com n=2,
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^{3}}{3}.
Expliquei passo a passo: some 1 ao expoente (2+1=3) e divida por esse número (3).

Passo 5

Primitiva do segundo termo x^{-2}:
Aplicando a fórmula com n=-2,
\int x^{-2}\,dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} = \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.
Agora lembre que na integral original temos um sinal negativo antes de x^{-2}, então
- \int x^{-2}\,dx = -\big(-x^{-1}\big) = +x^{-1}.
Escrevendo x^{-1} em forma mais familiar, x^{-1}=\dfrac{1}{x}.

Passo 6

Juntando os dois resultados e adicionando a constante de integração C,
\int\left(x^{2}-x^{-2}\right)\,dx = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{x} + C.

Passo 7

Verificação rápida (checagem que ajuda na prova): derivando a resposta obtida deve-se recuperar a integranda. Derivando \dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{1}{x}:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{x^{3}}{3}\right)=x^{2},\qquad \frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{d}{dx}\!(x^{-1})=-x^{-2}.
Somando dá x^{2}-x^{-2}, que é a integranda correta.

Resposta

\dfrac{x^{3}}{3}+\dfrac{1}{x}+C

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